题目33：最长渐进不降子序列

本题要求你设计一个函数，找到一个数组的最长渐进不降子序列。

解题思路

最长渐进不降子序列问题，可以使用动态规划来解决。我们定义$dp[i]$表示以$a_i$为结尾的最长渐进不降子序列的长度。初始化$dp[i]=1$，因为任何数字都可以形成自己单独的最长渐进不降子序列，然后对于任意的$0\leq j<i$，如果$a_j\leq a_i$，则更新$dp[i]$，即$dp[i]=\max(dp[i],dp[j]+1)$。

最终的答案为$\max_{i=1}^n dp[i]$。

代码示例

def longest_increasing_subsequence(nums):
    n = len(nums)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] <= nums[i]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

# 示例
nums = [10, 22, 9, 33, 21, 50, 41, 60]
print(longest_increasing_subsequence(nums))  # 输出 5

时间复杂度

该算法的时间复杂度为$O(n^2)$，其中$n$为输入数组的长度。

空间复杂度

该算法的空间复杂度为$O(n)$，其中$n$为输入数组的长度，$dp$数组占用$O(n)$的空间。