门| GATE CS 2020 | 第 30 题 解析

本题为 GATE CS 2020 考试中涉及的一道题目，需要判断一个给定的输入序列是否为合法的栈混洗操作序列，如果是则返回 True，否则返回 False。

问题背景

在计算机科学中，栈（Stack）是一种具有「后进先出」特性的数据结构，即最后进入栈的元素是最先从栈中删除的元素。

栈混洗（Stack Permutation）指的是，将初始的栈中的元素通过一系列操作得到目标栈。

例如，假设现在有一个非空的栈 S = {1, 2, 3, 4, 5}，它的一个合法的混洗操作序列是 PSH 1, PSH 2, POP, PSH 3, POP, PSH 4, POP, POP, POP, PSH 5，通过这个操作序列，我们可以将初始的栈 S 变为目标栈 {3, 5, 4, 2, 1}。

但是，对于一些给定的操作序列，可能无法得到有效的目标栈，因此一个序列是否为合法的栈混洗操作序列变得很重要。

问题描述

给定两个整数序列 input 和 output，其中 input 表示一个栈的初始状态，output 表示一个目标栈的状态，你的任务是，判断给定的 input 序列是否为一个合法的栈混洗操作序列，即通过一系列的操作在初始状态下得到目标状态。

问题分析

本题需要实现一个算法来判断给定的操作序列是否合法，是否能够从初始栈得到目标栈。

栈的混洗操作

栈的混洗操作是通过入栈（Push）和出栈（Pop）操作来实现的。

假设当前的栈为 stack，需要实现一个混洗操作序列 $op =\{\,{\rm op}_1,\, {\rm op}_2,\, \cdots,\, {\rm op}_n\,\}$，其中 ${\rm op}_i$ 表示第 i 个操作，有以下两种情况：

• ${\rm op}_i = {\rm Push}(x)$ 表示将元素 $x$ 入栈；
• ${\rm op}_i = {\rm Pop}$ 表示将栈顶元素出栈。

在执行一个操作序列时，我们需要按照序列中操作的顺序依次执行，如果在执行某个出栈操作时发现当前栈顶的元素与目标栈顶元素不同，则这个操作序列是非法的。

例如，对于下面两个序列：

• $op =\{\,{\rm Push}(1),\, {\rm Push}(2),\, {\rm Pop},\, {\rm Pop},\, {\rm Push}(3),\, {\rm Pop},\, {\rm Push}(4),\, {\rm Pop},\, {\rm Pop},\, {\rm Pop},\, {\rm Push}(5)\,\}$；

• $op =\{\,{\rm Push}(1),\, {\rm Push}(2),\, {\rm Pop},\, {\rm Pop},\, {\rm Push}(3),\, {\rm Pop},\, {\rm Push}(4),\, {\rm Pop},\, {\rm Pop},\, {\rm Push}(5),\, {\rm Pop}\,\}$。

这两个序列的区别在于最后一个操作，第一个序列把元素 5 入栈，然后在执行操作序列中的三个出栈操作时顺利完成目标，而第二个序列在最后一个出栈操作时失败了，因为元素 5 不在栈顶。

解决方案

对于本题，我们需要判断给定的输入序列是否为一个合法的栈混洗操作序列，如果是则返回 True，否则返回 False。

通过观察可知，合法的混洗操作序列应该满足以下条件：

1. 若栈顶元素与目标栈顶元素相同，则进行出栈操作；
2. 若栈顶元素与目标栈顶元素不同，则将目标栈顶元素入栈；
3. 如果栈已经为空了，但是还有操作未完成，则说明该操作序列非法。

因此，我们可以使用一个栈来模拟整个混洗操作的过程，依次将输入序列中的元素压入栈中，直到栈顶元素与目标栈顶元素相同，则把它们同时弹出栈中；如果不相同，则继续依次把目标序列中的元素入栈。

代码实现

def is_valid_stack_permutation(input: List[int], output: List[int]) -> bool:
    """
    检查给定的序列 input 是否为序列 output 的合法栈混洗操作序列。
    """
    stack = []
    output_index = 0

    for item in input:
        stack.append(item)

        while stack and output_index < len(output) and stack[-1] == output[output_index]:
            stack.pop()
            output_index += 1

    return output_index == len(output) and not stack

上述代码通过一个栈 stack 以及一个整数索引 output_index 来模拟栈混洗操作的过程，具体实现如下：

1. 遍历输入序列 input 中的元素，依次将它们压入栈 stack 中；
2. 不断检查栈顶元素是否与目标栈 output 中的当前位置输出是否相同；
3. 如果相同，则同时弹出栈顶元素和目标栈中的相应元素，并将输出索引 output_index 加 1；
4. 如果不相同，则继续将目标栈中的元素入栈；
5. 如果最终能够成功地符合目标栈，则输出 True，否则输出 False。

算法的时间复杂度

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 表示输入序列 input 的长度。

算法的空间复杂度

该算法的空间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 表示输入序列 input 的长度。