门 | GATE CS 2018 |第 30 题

这道题是计算机科学门类中的一道题目，属于 GATE CS 的 2018 年度考试中的第 30 题。

题目描述

题目要求求解一个叫做“门”的系统的输出。这个门系统由两个门组成，系统的输入是 $n$ 个布尔类型的变量和一个连通性图，该图表示变量之间的依赖关系。系统的输出是最后一个门的状态，即最后一个门是否打开。

输入变量有三种可能情况：true、false 和 unknown。输入的连通性图是一个对所有变量的依赖关系进行建模的有向图，其中每个节点表示一个或多个输入变量，每个边表示一个或多个输入变量依赖于另一个或多个输入变量。如果一个变量是 unknown，它可能是 true 也可能是 false。

每个门都有两个输入和一个输出，输入可以是 true、false 或前一个门的输出，输出也可以是 true 或 false。执行顺序从左到右，即先计算左侧的门。门的计算遵循以下规则：

• 如果输入和输出都是 true 或 false，则直接将输出设为输入。
• 如果输入或输出是 unknown，则将输出设为 unknown。
• 对于门 1 和门 2，如果所有输入都是 known，那么输出取决于输入和门的类型。如果门类型为 AND，则输出 true 当且仅当所有输入都为 true，否则输出 false。如果门类型为 OR，则输出 true 当且仅当至少有一个输入为 true，否则输出 false。对于门 3，输出是对输入取反的结果。

注：对于输入和输出状态的计算，当任何一个变量为 unknown 时，它们就无法被计算出来，因此输出也为 unknown。

解题思路

这道题需要从输入变量和连通性图中构建一个节点的依赖关系图。然后我们需要通过这个有向图来判断变量之间的依赖关系和输出的状态。

首先我们可以建立一个集合来存储未求出状态的变量。我们遍历所有输入变量和它们的依赖关系，对于一个未求出状态的变量，我们将其加入集合中。对于一个求出状态的变量，我们检查它的依赖关系，设所有其依赖的变量的状态为 $x_1, x_2, ..., x_k$，它的状态为 $y$。如果$y$为 true 或 false 状态，则所有依赖它的变量都可以推导出状态。如果所有依赖它的变量的状态是已知的，那么我们可以通过 $y$ 和门类型来计算出输出状态。如果结果是 unknown，则继续保留该变量的状态为未求出状态。

我们通过这种方式逐步利用有向图求出所有变量的状态，同时更新其对应的 output。最后得到的 output 就是题目所要求的结果。

代码实现

下面是一个基于 Python 语言的伪代码片段来实现上述思路：

# 定义一个处理门状态的函数
def door_process(x, y, door_type):
    if door_type == 'AND':
        if x == 'true' and y == 'true':
            return 'true'
        elif x == 'false' or y == 'false' or x == 'unknown' or y == 'unknown':
            return 'unknown'
        else:
            return 'false'
    elif door_type == 'OR':
        if x == 'false' and y == 'false':
            return 'false'
        elif x == 'true' or y == 'true' or x == 'unknown' or y == 'unknown':
            return 'unknown'
        else:
            return 'true'
    elif door_type == 'NOT':
        if x == 'true':
            return 'false'
        elif x == 'false':
            return 'true'
        else:
            return 'unknown'

# 定义一个函数来建立依赖关系图
def build_dependency_graph(variables, connections):
    # 初始化所有变量的状态为unknown
    states = {v: 'unknown' for v in variables}
    # 建立依赖图
    graph = {}
    for v in variables:
        graph[v] = set()
    for (a, b) in connections:
        graph[b].add(a)
    # 定义一个集合来保存未求出状态的变量
    unknown_variables = {v for v in variables if states[v] == 'unknown'}
    # 遍历未求出状态的变量
    while unknown_variables:
        update_set = set()
        for v in unknown_variables:
            dependencies = graph[v]
            # 判断是否所有依赖变量都已求出状态
            if all(states[d] != 'unknown' for d in dependencies):
                # 根据门类型计算输出状态
                output = door_process(states[dependencies[0]], states[dependencies[1]], door_type[v])
                states[v] = output
                update_set.add(v)
        # 如果没有变量可以更新，则说明无法再推导出更多变量的状态
        if not update_set:
            break
        # 移除已更新的变量
        unknown_variables -= update_set
    return states

# 解题函数
def solve_door(n, connections, door_type, variable_values):
    variables = [f'x{i}' for i in range(1, n+1)]
    # 建立依赖关系图
    states = build_dependency_graph(variables, connections)
    # 计算输出状态
    output = door_process(states[variables[-1]], variable_values[-1], door_type[-1])
    return output

上述代码实现了一种简单的求解方法，但是在实际应用过程中可能还需要考虑到很多细节。例如，如果连通性图中存在环路，那么我们可能需要使用一种更加复杂的算法来处理。因此，我们需要对上述代码进行扩展，使其适用于不同的场景。