📅  最后修改于: 2023-12-03 14:56:10.276000             🧑  作者: Mango
如果给定一个线性方程ax + by = c,我们可以找到一组整数x和y的解来满足该方程。但是,如果我们需要找到满足该方程的一组整数解,其x和y的最小值的总和,该怎么办呢?
一种简单的解决方案是使用扩展欧几里得算法,它可以找到方程的整数解,以及x和y的最小值的总和。
在以下的代码片段中,我们使用Python来实现这个解决方案:
def gcd_extended(a, b):
if b == 0:
return (a, 1, 0)
(d, x, y) = gcd_extended(b, a % b)
return (d, y, x - (a // b) * y)
def find_min_sum_x_y(a, b, c):
(d, x0, y0) = gcd_extended(a, b)
if c % d != 0:
return None
fact = c // d
return (x0 * fact, y0 * fact)
首先,我们定义了一个扩展欧几里得算法'gcd_extended',它返回一个三元组(d, x, y),其中d是a和b的最大公约数,而x和y是它们的贝祖等式中的一组解。然后,我们定义了一个函数'find_min_sum_x_y',它接受参数a、b和c,并返回满足ax + by = c的一组整数解,满足x和y的最小值的总和。
在 'find_min_sum_x_y' 函数中,我们首先使用扩展欧几里得算法来找到ax + by = d的一组解。然后,如果c不能被d整除,则没有解。如果c可以被d整除,则我们将方程乘以c / d,我们可以得到方程的新解,其中x和y的最小值的总和是最小的。
以下是一个使用 'find_min_sum_x_y' 函数的示例:
>>> find_min_sum_x_y(10, 6, 14)
(7, -12)
这告诉我们,当a = 10,b = 6和c = 14时,满足方程ax + by = c的一组整数解是x = 7,y = -12。在这个例子中,x和y的最小值的总和是19(即7 + |-12| = 19)。