凸优化-Weierstrass定理

简介

在数学中，Weierstrass定理是一个关于实数连续函数的定理。该定理说明了，任何一个实数函数都可以通过基本的代数函数（如多项式函数）组合而成，并且这些函数是连续的。这个定理在数学中有着广泛而重要的应用，其中之一就是在凸优化中的应用。

凸优化

凸优化是一类优化问题，其约束条件为凸集，目标函数为凸函数。在凸优化中，Weierstrass定理的应用是：任何一个连续的凸函数都可以被基本的代数函数（如多项式函数）组合而成。

Weierstrass定理

Weierstrass定理 （Weierstrass theorem）指出，对于任意一个连续实函数f(x)，都存在一个实系数多项式函数P(x)和Q(x)，使得：

$$ f(x) = P(x) + Q(x) \sin(ax + b) $$

其中，a和b为任意实数。

这个定理的证明十分复杂，我们不再展开讲解，有兴趣的读者可以自行研究相关文献。

在凸优化中的应用

在凸优化中，Weierstrass定理的应用可以简单地转化为：任何一个凸函数都可以被基本的代数函数（如多项式函数）组合而成。这一结论对于凸优化的求解和优化有着重要的意义。

下面是一个利用Weierstrass定理来优化凸函数的Python代码片段：

import numpy as np
import scipy.optimize as opt

def f(x):
    return x[0] ** 2 + x[1] ** 2 + x[2] ** 2 - 4 * x[0] - 2 * x[1] - x[2] + 7

def poly(x):
    return x[0] ** 2 + x[1] ** 2 + x[2] ** 2 - 4 * x[0] - 2 * x[1] - x[2]

def weierstrass(x):
    return f(x) - poly(x) * np.sin(x[0] + x[1] + x[2])

x0 = np.array([0, 0, 0])
result = opt.minimize(weierstrass, x0)

print(result)

在以上例子中，我们定义了一个凸函数f(x)，然后通过多项式函数P(x)和Q(x)的组合来优化f(x)。这里的P(x)就是poly(x)，而Q(x)则为np.sin(x[0] + x[1] + x[2])，通过Weierstrass定理的组合方式，我们可以将f(x)写成poly(x)和np.sin(x[0] + x[1] + x[2])的形式，然后再进行优化即可。

总结

Weierstrass定理是一个关于实数连续函数的定理，该定理可以被应用于凸优化中。通过Weierstrass定理的组合方式，我们可以将任意一个凸函数表示为基本的代数函数（如多项式函数）的组合形式，从而方便我们对凸函数进行优化求解。