设S为$ \ mathbb {R} ^ n $中的一个非空封闭凸集，并让$ y \ notin S $，则在S $中存在$ \ bar $$ {bar} y，即$ \ left \ | y- \ bar {x} \ right \ | \ leq \ left \ | yx \ right \ | \ forall x \ in S. $

此外，当且仅当$ \ left(y- \ hat {x} \ right)^ {T} \ left(x- \ hat {x} \ right)\ leq是$ \ bar {x} $是最小化点0 $或$ \ left(y- \ hat {x}，x- \ hat {x} \ right)\ leq 0 $

证明

最近点的存在

由于$ S \ ne \ phi，\在S $中存在一个点$ \ hat {x} \，因此S与y的最小距离小于或等于$ \ left \ |。 y- \ hat {x} \ right \ | $。

定义$ \ hat {S} = S \ cap \ left \ {x：\ left \ | yx \ right \ | \ leq \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | \ right \} $

由于$ \ hat {S} $是封闭且有界的，并且由于范数是一个连续函数，因此根据Weierstrass定理，在S $中存在一个最小值$ \ hat {x} \，因此$ \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | = Inf \ left \ {\ left \ | yx \ right \ |，x \ in S \ right \} $

独特性

假设$ \ bar {x} \ in S $使得$ \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | = \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | = \ alpha $

由于S是凸的，因此$ \ frac {\ hat {x} + \ bar {x}} {2} \ in S $

但是，$ \ left \ | y- \ frac {\ hat {x}-\ bar {x}} {2} \ right \ | \ leq \ frac {1} {2} \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | + \ frac {1} {2} \ left \ | y- \ bar {x} \ right \ | = \ alpha $

严格的不等式不能成立，因为$ \ hat {x} $最接近y。

因此，$ \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | = \ mu \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | $，大约$ \ mu $

现在$ \ left \ | \ mu \ right \ | = 1. $如果$ \ mu = -1 $，则$ \ left(y- \ hat {x} \ right)=-\ left(y- \ hat {x} \ right)\ Rightarrow y = \ frac {\ hat {x} + \ bar {x}} {2} \ in S $

但是$ y \ in S $。因此矛盾。因此$ \ mu = 1 \ Rightarrow \ hat {x} = \ bar {x} $

因此，最小化点是唯一的。

对于证明的第二部分，假设$ \ left(y- \ hat {x} \ right)^ {\ tau} \ left(x- \ bar {x} \ right)\ leq 0 $对于所有$ x \新币

现在，

$ \左\ | yx \ right \ | ^ {2} = \ left \ | y- \ hat {x} + \ hat {x} -x \ right \ | ^ {2} = \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | ^ {2} + \ left \ | \ hat {x} -x \ right \ | ^ {2} +2 \ left(\ hat {x} -x \ right) ^ {\ tau} \ left(y- \ hat {x} \ right)$

$ \ Rightarrow \ left \ | yx \ right \ | ^ {2} \ geq \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | ^ {2} $，因为$ \ left \ | \ hat {x} -x \ right \ | ^ {2} \ geq 0 $和$ \ left(\ hat {x}-x \ right)^ {T} \ left(y- \ hat {x} \ right )\ geq 0 $

因此，$ \ hat {x} $是最小点。

相反，假设$ \ hat {x} $是最小点。

$ \ Rightarrow \ left \ | yx \ right \ | ^ {2} \ geq \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | ^ 2 \ forall x \ in S $

由于S是凸集。

$ \ Rightarrow \ lambda x + \ left(1- \ lambda \ right)\ hat {x} = \ hat {x} + \ lambda \ left(x- \ hat {x} \ right)\ in S $ for $ x \ in S $和$ \ lambda \ in \ left(0,1 \ right)$

现在，$ \ left \ | y- \ hat {x}-\ lambda \ left(x- \ hat {x} \ right)\ right \ | ^ {2} \ geq \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | ^ 2 $

和

$ \左\ | y- \ hat {x}-\ lambda \ left(x- \ hat {x} \ right)\ right \ | ^ {2} = \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | ^ {2} + \ lambda ^ 2 \ left \ | x- \ hat {x} \ right \ | ^ {2} -2 \ lambda \ left(y- \ hat {x} \ right)^ {T} \ left(x- \ hat {x} \ right)$

$ \ Rightarrow \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | ^ {2} + \ lambda ^ {2} \ left \ | x- \ hat {x} \ right \ | -2 \ lambda \ left(y- \ hat {x} \ right)^ {T} \ left(x- \ hat {x} \ right)\ geq \ left \ | y- \ hat {x} \ right \ | ^ {2} $

$ \ Rightarrow 2 \ lambda \ left(y- \ hat {x} \ right)^ {T} \ left(x- \ hat {x} \ right)\ leq \ lambda ^ 2 \ left \ | x- \ hat {x} \ right \ | ^ 2 $

$ \ Rightarrow \ left(y- \ hat {x} \ right)^ {T} \ left(x- \ hat {x} \ right)\ leq 0 $

因此证明。