图论-独立集

基本概念

独立集（Independent Set）指的是一个无向图中，一组没有任何边相连的顶点构成的集合。换言之，若集合中任意两点不相邻，则称该集合为独立集。

问题描述

给定一张无向图，求其中最大的独立集，即包含顶点数最多的独立集。

解法

穷举

最简单的方法是穷举所有可能的独立集，然后找出其中包含最多顶点的集合。但是由于独立集的数量是指数级别的，因此该方法的时间复杂度很高。

动态规划

利用动态规划可以得到更加高效的解法。

首先，我们定义一个数组 dp[i]，表示在以第 i 个顶点为结尾时的最大独立集大小。由于最大独立集一定包含第 i 个顶点或不包含第 i 个顶点两种情况，因此有如下转移方程：

dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中 j 表示与第 i 个顶点相邻的点

最终的答案即为 dp 数组中的最大值。

代码片段：

def maximum_independent_set(adj_matrix):
    n = len(adj_matrix)
    dp = [1] * n
    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if not adj_matrix[i][j]:
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
    return max(dp)

时间复杂度：$O(n^2)$

贪心算法

利用贪心算法也可以得到一个近似解。在每一步中，选择当前图中度数最小的顶点，然后从图中删除该顶点及其相邻的边。重复执行此过程，直到图为空。

代码片段：

def maximum_independent_set(adj_matrix):
    ans = []
    vertices = list(range(len(adj_matrix)))
    while vertices:
        min_degree = float('inf')
        min_vertex = -1
        for vertex in vertices:
            degree = sum(adj_matrix[vertex])
            if degree < min_degree:
                min_degree = degree
                min_vertex = vertex
        ans.append(min_vertex)
        vertices.remove(min_vertex)
        for i in range(len(vertices)):
            adj_matrix[vertices[i]][min_vertex] = 0
            adj_matrix[min_vertex][vertices[i]] = 0
    return len(ans)

时间复杂度：$O(n^2 \log n)$