通过合成验证反函数

函数可以看作是一个数学公式或在给定输入时抛出输出的机器。输出通常是输入的一些处理版本。函数的逆运算可以看作是在给他们输出的同时给我们输入的操作。换句话说，逆函数反转函数的运算。这些概念在数学中的很多地方都有使用，我们需要确定给定输出的输入是什么。让我们详细了解这些概念。

反函数

一般意义上的反函数是函数的逆函数。对于函数f(x)，其逆表示为 f ^-1 (x)。该图表示函数和反函数如何相互关联。让我们考虑函数f(x) = x + 3，这意味着它将 3 添加到它的输入。因此，很明显，要反转这个从给定输出中再次找到输入的过程，必须减去 3。所以，f ^-1 (x) = x – 3。

求逆的方法：

Let’s consider a function f(x), for finding out the inverse function f^-1(x). 

1. Replace f(x) with y.
2. Now, replace every x with y and vice-versa.
3. Solve the equation formed after step 2 for y.
4. Replace y with f^-1(x).

此方法可用于计算大多数函数的逆。

问题：求 f(x) = x ² + 1 的倒数。

解决方案。

For finding out the inverse of this function, same steps will be followed. 

f(x) = x² + 1

⇒ y = x² + 1

Replacing x with y and vice-versa

⇒x = y² + 1

⇒ y =$\sqrt{x^2 - 1}$

Thus, f^-1(x) = $\sqrt{x^2 - 1}$

逆合成规则

由于反向返回输入。必须验证计算出的倒数是否正确。为此，我们使用函数组合的属性。假设 f(x) 是一个函数，而 g(x) 是它的逆函数。目的是验证计算出的反函数g(x) 的正确性。以下是验证 g(x) 是函数f(x) 的逆函数的两个条件：

1. f(g(x)) = x 对于 g(x) 域中的所有 x。
2. g(f(x)) = x 对于 f(x) 域中的所有 x。

由于 f(x) 和 g(x) 是逆的，因此它们以任何顺序组合都会创建一个返回输入作为输入的函数。这个函数称为恒等函数。

让我们看看这些概念的一些问题。

示例问题

问题1：求下列函数的逆，并用上述性质进行验证。

f(x) = 2x + 5

回答：

Following the steps mentioned in the previous methods. 

f(x) = 2x + 5

Replace f(x) with y, 

y = 2x + 5 

Replace x with y and vice versa 

x = 2y + 5 

Solving the equation for y, 

y = $\frac{x - 5}{2}$

Let the inverse be g(x) = $\frac{x - 5}{2}$ and f(x) = 2x + 5. 

f(g(x))

f($\frac{x - 5}{2}$) 

⇒ 2($\frac{x - 5}{2}$) + 5

⇒x – 5 + 5 

⇒x 

g(f(x))

g(2x + 5) 

⇒ ($\frac{(2x + 5) - 5}{2}$) 

⇒x 

Hence, Verified. 

问题2：求下列函数的逆，并用上述性质进行验证。

f(x) = x ²

回答：

Following the steps mentioned in the previous methods. 

f(x) = x²

Replace f(x) with y, 

y = x²

Replace x with y and vice versa 

x = y²

Solving the equation for y, 

y = √x

Let the inverse be g(x) = √x and f(x) = x²

f(g(x))

f(√x) 

⇒ (√x)²

⇒x 

g(f(x))

√(x²)

⇒ x

Hence, Verified. 

问题3：求下列函数的逆，并用上述性质进行验证。

f(x) = $\frac{x -3}{7}$

回答：

Following the steps mentioned in the previous methods. 

f(x) =$\frac{x -3}{7}$

Replace f(x) with y, 

y = $\frac{x -3}{7}$

Replace x with y and vice versa 

x = $\frac{y -3}{7}$

Solving the equation for y, 

y = 7x + 3

Let the inverse be g(x) = 7x + 3 and f(x) = $\frac{x -3}{7}$ 

f(g(x))

f(7x + 3) 

⇒ $\frac{7x + 3 -3}{7}$

⇒x 

g(f(x))

g($\frac{x -3}{7}$) 

⇒ 7($\frac{x -3}{7}$ ) + 3

⇒x 

Hence, Verified. 

问题4：求下列函数的逆，并用上述性质进行验证。

f(x) = log(x)

回答：

Following the steps mentioned in the previous methods. 

f(x) = log(x)

Replace f(x) with y, 

y = log(x)

Replace x with y and vice versa 

x = log(y)

Solving the equation for y, 

y = e^x

Let the inverse be g(x) = e^x and f(x) = log(x)

f(g(x))

f(e^x) 

⇒ log(e^x)

⇒x

g(f(x))

⇒e^log(x)

⇒ x

Hence, Verified. 

问题 5：求下列函数的逆函数，并用上述性质进行验证。

f(x) = x ³ + 1

回答：

Following the steps mentioned in the previous methods. 

f(x) = x³ + 1

Replace f(x) with y, 

y = x³ + 1

Replace x with y and vice versa 

x = y³ + 1

Solving the equation for y, 

y = $\sqrt[3](x - 1)$

Let the inverse be g(x) = $\sqrt[3](x - 1)$ and f(x) = x³ + 1

f(g(x))

f($\sqrt[3](x - 1)$) 

⇒ ($\sqrt[3](x - 1)$)³ + 1

⇒x

g(f(x))

⇒$\sqrt[3]{(x^3 + 1) - 1}$ 

⇒ x

Hence, Verified. 

问题6：求下列函数的逆，并用上述性质进行验证。

f(x) = e ^x + 1

回答：

Following the steps mentioned in the previous methods. 

f(x) = e^x + 1

Replace f(x) with y, 

y = e^x + 1

Replace x with y and vice versa 

x = e^y + 1

Solving the equation for y, 

y = log(x -1)

Let the inverse be g(x) = log(x – 1) and f(x) = e^x + 1

f(g(x))

f(log(x – 1)) 

⇒ e^{log(x – 1)} + 1

⇒x

g(f(x))

⇒ g(e^x + 1) 

⇒ log(e^x + 1 – 1)

⇒ x 

Hence, Verified.