反函数的导数

当我们学习一元函数的导数时，常常遇到函数无法简单地求导的情况。此时，我们可以通过求反函数的导数来简化问题。

定义

若函数 $f$ 在其定义域上连续且严格单调，则其反函数 $f^{-1}$ 存在。反函数的导数可以表示为：

$$\frac{d}{dx}f^{-1}(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$$

解释

什么是“反函数”？反函数指的是在函数 $f$ 的定义域上，与 $f$ 互为逆映射的函数。例如，若 $y=f(x)$，则其反函数为 $x=f^{-1}(y)$。

为了求反函数的导数，我们首先需要知道这个公式的推导过程。

我们知道，导数表示的是函数在某一点处的增长率。设 $y=f(x)$，那么 $f^{-1}(y)$ 在 $y$ 处的增长率应该是 $\frac{dx}{dy}$。而 $x=f^{-1}(y)$，所以求 $\frac{dx}{dy}$ 就是求 $f^{-1}(y)$ 的导数。

根据链式法则，$\frac{dy}{dx}=f'(x)$，即 $y$ 对 $x$ 的导数等于 $f$ 在 $x$ 处的导数。将 $x=f^{-1}(y)$ 带入得到：

$$\frac{d}{dy}f^{-1}(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$

这就是反函数的导数公式。它告诉我们，反函数的导数等于原函数在反函数处的导数的倒数。

示例

下面是一个示例代码片段，用 Python 实现了一个计算反函数导数的函数：

def inverse_derivative(f, x):
    """
    给定一个函数 f 和一个点 x，计算 f 的反函数在 f(x) 处的导数。
    """
    f_prime = derivative(f, x)
    return 1 / f_prime

def f(x):
    return x ** 2

x = 2
f_x = f(x)
f_inv = lambda y: math.sqrt(y)
y = f_inv(f_x)
f_inv_prime = inverse_derivative(f, y)

print(f"y=f(x)={f_x}, f^-1(y)={y}, f^-1(y)'={f_inv_prime}")

上述代码实现了一个计算反函数导数的函数 inverse_derivative，它接受两个参数：原函数 f 和一个点 x，并返回 f 的反函数在 f(x) 处的导数。

在示例中，我们定义了一个二次函数 $y=x^2$，然后取 $x=2$，求出其对应的 $y=f(x)$ 和 $f$ 的反函数 $f^{-1}$ 在 $f(x)$ 处的导数 $f^{-1}(f(x))'$。我们使用了一个匿名函数 f_inv 来表示 $f^{-1}$，使用了 Python 标准库中的 math.sqrt 函数计算平方根。

该程序输出了 $y=f(x)=4$，$f^{-1}(y)=\sqrt y=2$，以及 $f^{-1}(f(x))'=\frac 1{f'(f^{-1}(f(x)))}=\frac 1{2x}=0.25$。这恰好验证了反函数的导数公式的有效性。

总结

本文介绍了反函数的导数的概念，以及如何使用公式来求解它。我们还给出了一个 Python 的示例程序，演示了如何计算反函数的导数。希望本文能够帮助读者更好地理解这一概念。