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📜  帕斯卡三角-二项式定理

📅  最后修改于: 2021-06-23 02:49:36             🧑  作者: Mango

我们知道像(x + 2) 2和(x + 3) 3这样的项的展开。这些很简单，但是有时我们会遇到一些表达式，例如(x + 2) 5 。这些表达式很难扩展，例如，我们可以使用一些技巧来简化这些表达式，

(x + 2) 5 =(x + 2)(x + 2) 2 (x + 2) 2

研究人员研究了涉及数千个指数的二项式展开式。知道扩展它们的简单方法就变得至关重要。这仍然是很多工作，这就是二项式定理为我们提供帮助的地方。它允许我们扩展任何通用表达式，例如(x + a) n 。让我们详细看一下这个定理。

二项式表达

二项式表达式定义为具有两个由运算符(如+或-)连接的项的表达式。例如，x + a，x – 6等是二项式表达式的示例。将二项式表达式提高到大于3的幂非常困难且麻烦。让我们看一些二项式展开，并尝试在其中找到一些模式，

(x + a) 0 = 1

(x + a) 1 = x + a

(x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2

(x + a) 3 = x 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + a 3

注意，我们需要知道这些项的系数，然后描述它们的展开可能会更容易一些。 Pascals的三角形可用于真正快速地产生这些结果。

什么是帕斯卡的三角形?

它以著名的哲学家和数学家“帕斯卡”(Pascal)的名字命名，后者开发了以1开头的数字模式，下面的数字是上述数字的总和。要开始制作Pascal的三角形，首先写下数字1。第二行再次写下两个1。其他行是使用前几行生成的，以形成一个数字三角形。每行以1开头和结尾。

x给出的数字是通过将前一行的数字相加得出的，该数字位于给定位置的上方和左侧。下图演示了建立Pascal三角形的过程。

这样，可以生成帕斯卡的三角形。

问题1：生成Pascal三角形的第六行。

回答：

问题2：生成Pascal三角形的第十行。

回答：

Pascal三角形扩展二项式表达式

让我们再次看上面的等式，

(x + a) 0 = 1

(x + a) 1 = x + a

(x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2

(x + a) 3 = x 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + a 3

我们可以从(x + a) n的这些方程式得出一些结论，

  1. 总比n的值多一个项。
  2. 对于每个项，指数的总和始终等于n。
  3. 对于变量“ x”，指数从n开始并持续减小直到零。同样，对于“ a”，指数从0开始直到n。
  4. 这些项的系数由帕斯卡的三角形给出。

让我们看一个例子，假设我们想通过这个扩展概念来扩展(x + a) 3 。应该有四个项，并且这些项应分别具有递减的指数“ x”和递增的指数“ a”。

(x + a) 3 = C 1 x 3 + C 2 x 2 a + C 3 xa 2 + C 4 a 3

值C 1， C 2 ，C 3 ， 和C 4是系数，我们将用帕斯卡三角形计算出系数。让我们看一下n +1行的Pascal三角形，

最后一行的值给出了系数C 1 ，C 2 ，C 3和C 4的值。

在此，C 1 ＝ 1，C 2 ＝ 3，C 3 ＝ 3和C 4 ＝ 1。

因此，通过这种方式，我们可以扩展我们的二项式表达式。

样本问题

问题1：展开并验证(a + b) 2 。

解决方案：

问题2：展开(a + b) 4 。

解决方案：

问题3：展开(a + b) 5 。

解决方案：

问题4：展开(a + b) 6 。

解决方案：