二项式定理的推论

表达方式$(a+b)^n$表示$(a+b)(a+b)(a+b) ... n$次。
这可以被评估为涉及的项的总和$a^k b^{n-k}$对于 k = 0 到 n，其中第一项可以从 n 个位置中选择，第二项可以从 (n-1) 个位置中选择， $k^{th}$来自 (n-(k-1)) 个地方的术语等等。这表示为$(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n ^nC_k a^{n-k} b^k$ .
使用组合符号的二项式展开是

$(a+b)^n = ^nC_0 a^n b^0 + ^nC_1 a^{n-1} b^1 + ^nC_2 a^{n-2} b^2 .. + ^nC_{n-k} a^k b^{n-k} .. +^nC_n a^0 b^n$

• 每学期的度数$a^k$$b^{n-k}$在上面的二项式展开中是 n 阶的。
• 展开式中的项数为 n+1。
• $^nC_k = n!/k!(n-k)!$
  相似地$^nC_{n-k} = n!/(n-k)!(n-(n-k))! = n!/(n-k)!k!$
  因此可以得出结论， $^nC_k = ^nC_{n-k}$ .

在二项式展开式中代入 a = 1 和 b = x，对于任何正整数 n 我们得到
$(1+x)^n = ^nC_0 + ^nC_1 x^1 + ^nC_2 x^2 ..+ ^nC_n x^n$ .

推论1：

$\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 2^n$

对于任何非负整数 n。

在上述二项式展开式中将 x 替换为 1，我们得到
$^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 .. + ^nC_n = (1+1)^n = 2^n$ .

推论2：

$\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 0$

对于任何正整数 n。

在上述二项式展开式中将 x 替换为 -1，我们得到
$^nC_0 + ^nC_1 (-1) + ^nC_2 (-1)^2 .. + ^nC_n (-1)^n = (1+(-1))^n = 0$ .

推论3：

在上述二项式展开式中用 2 替换 x，我们得到
$^nC_0 + ^nC_1 2 + ^nC_2 2^2 .. + ^nC_n 2^n = (1+2)^n = 3^n$

一般来说，可以说

$\sum\limits_{k=0}^n (2^k) ^nC_k = 3^n$

此外，可以结合推论 1 和推论 2 得到另一个结果，

$^nC_0 + ^nC_1 (-1) + ^nC_2 (-1)^2 .. + ^nC_n (-1)^n = (1+(-1))^n = 0$

$^nC_0 + ^nC_2 + .. = ^nC_1 + ^nC_3 + ...$
偶数项系数之和 = 奇数项系数之和。

自从$\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 2^n$ ,

2( $^nC_0 + ^nC_2 + ..) = 2^n$

$^nC_0 + ^nC_2 + .. = 2^{n-1}$

$^nC_0 + ^nC_2 + .. = ^nC_1 + ^nC_3 + .. = 2^{n-1}$

数数
展开式项的系数$(a+b)^n$对应于第 n 行的帕斯卡三角形的项。

$(a+b)^0$	1	1
$(a+b)^1$	$a+b$	$1 \ 1$
$(a+b)^2$	$a^2+2ab+b^2$	$1 \ 2 \ 1$
$(a+b)^3$	$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$	$1 \ 3 \ 3 \ 1$

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