二项式定理的推论

二项式定理是代数中的一个重要定理，它可以用来展开二项式的幂。具体来说，它表明了：

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k$$

其中，$\binom{n}{k}$ 是组合数，表示从 $n$ 个不同元素中选取 $k$ 个元素的方案数。而 $a,b$ 可以是任意实数或复数。

这个定理有很多应用，例如可以用来计算多项式的系数、拓展二项式系数等。而它的推论也同样重要，下面我们将一一介绍。

推论一

二项式定理的第一项和最后一项相等，即：

$$(a+b)^n = a^n+b^n$$

当 $n=2$ 的时候，这个式子就变成了著名的“平方差公式”：

$$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$$

推论一的证明非常简单，我们只需要分别将 $\binom{n}{0}$ 和 $\binom{n}{n}$ 的值代入二项式定理中即可。

代码实现：

二项式定理的第一项和最后一项相等，即：

$$(a+b)^n = a^n+b^n$$

推论二

二项式定理的每一项都是 $a$ 和 $b$ 的次数之和为 $n$ 的项式的某个系数，即：

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k = \binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{n}b^n$$

推论二的证明也比较简单，我们只需要将二项式定理中的式子按照每一项的次数进行分类，得到

$$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{n}b^n$$

代码实现：

二项式定理的每一项都是 a 和 b 的次数之和为 n 的项式的某个系数，即：

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}a^{n-k}b^k = \binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{n}b^n$$

推论三

$$\begin{aligned}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} &= 2^n\\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k &= 0\quad(n\geq1)\end{aligned}$$

推论三也很有趣，第一个等式表明了所有组合数的和都等于 $2^n$，第二个等式则表明了奇数项组合数的和等于偶数项组合数的和。这个结论在计算数列、串的逆序对等问题时非常有用。

代码实现：

所有组合数的和都等于 $2^n$：

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} = 2^n$$

奇数项组合数的和等于偶数项组合数的和：

$$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\cdot(-1)^k = 0\quad(n\geq1)$$