二项式定理的推论

表达方式$(a+b)^n$表示$(a+b)(a+b)(a+b) ... n$时代。
可以将其评估为涉及以下各项的总和$a^k b^{n-k}$对于k = 0到n，其中第一项可以从n个地方中选择，第二项可以从(n-1)个地方中选择， $k^{th}$ (n-(k-1))个地方的项，依此类推。表示为$(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n ^nC_k a^{n-k} b^k$ 。
使用组合符号的二项式展开式为

$(a+b)^n = ^nC_0 a^n b^0 + ^nC_1 a^{n-1} b^1 + ^nC_2 a^{n-2} b^2 .. + ^nC_{n-k} a^k b^{n-k} .. +^nC_n a^0 b^n$

• 每学期的程度$a^k$$b^{n-k}$在上面的二项式展开式中，其阶数为n。
• 展开中的项数为n + 1。
• $^nC_k = n!/k!(n-k)!$
  相似地$^nC_{n-k} = n!/(n-k)!(n-(n-k))! = n!/(n-k)!k!$
  因此可以得出结论： $^nC_k = ^nC_{n-k}$ 。

将a = 1和b = x代入二项式展开式，对于任何正整数n，我们都可以得到
$(1+x)^n = ^nC_0 + ^nC_1 x^1 + ^nC_2 x^2 ..+ ^nC_n x^n$ 。

推论1：

$\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 2^n$

对于任何非负整数n。

在上述二项式展开式中将x替换为1，我们得到
$^nC_0 + ^nC_1 + ^nC_2 .. + ^nC_n = (1+1)^n = 2^n$ 。

推论二：

$\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 0$

对于任何正整数n。

在上述二项式展开式中用-1代替x，我们得到
$^nC_0 + ^nC_1 (-1) + ^nC_2 (-1)^2 .. + ^nC_n (-1)^n = (1+(-1))^n = 0$ 。

推论3：

在上述二项式展开式中将x替换为2，我们得到
$^nC_0 + ^nC_1 2 + ^nC_2 2^2 .. + ^nC_n 2^n = (1+2)^n = 3^n$

一般来说，可以说

$\sum\limits_{k=0}^n (2^k) ^nC_k = 3^n$

另外，可以将推论1和推论2结合起来以获得另一结果，

$^nC_0 + ^nC_1 (-1) + ^nC_2 (-1)^2 .. + ^nC_n (-1)^n = (1+(-1))^n = 0$

$^nC_0 + ^nC_2 + .. = ^nC_1 + ^nC_3 + ...$
偶数项的系数之和=奇数项的系数之和。

自从$\sum\limits_{k=0}^n ^nC_k = 2^n$ ，

2( $^nC_0 + ^nC_2 + ..) = 2^n$

$^nC_0 + ^nC_2 + .. = 2^{n-1}$

$^nC_0 + ^nC_2 + .. = ^nC_1 + ^nC_3 + .. = 2^{n-1}$

数数
扩展中术语的系数$(a+b)^n$对应于第n行中帕斯卡三角形的项。

$(a+b)^0$	1	1
$(a+b)^1$	$a+b$	$1 \ 1$
$(a+b)^2$	$a^2+2ab+b^2$	$1 \ 2 \ 1$
$(a+b)^3$	$a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$	$1 \ 3 \ 3 \ 1$