二项式堆

简介

二项式堆是一种基于二项树的数据结构，用于实现优先队列和堆。

二项树是一种有序树，其中每个节点都有两个子节点。它的特殊之处在于，树的高度与节点数之间具有某种关系，从而使得二项树可以被用来作为二项式堆的基础。

二项式堆主要有三个操作：插入一个元素、合并两个二项式堆和寻找最小元素。通过这些操作，我们可以在 O(log n) 的时间内对一个二项式堆进行一系列操作。

实现细节

二项树

二项树是一个递归定义的数据结构，其基值为一个单个节点。每个节点都有两个子节点，一个是秩比它自己的节点，另一个是秩相等的子树的根节点。 秩定义为树中到某个节点所需的步骤数。

下面是一个深度为 3、秩为 5 的二项树的示例：

     1
    / \
   2   3
  / \
 4   5

二项式堆

二项式堆是由许多二项树组成的堆。二项式堆具有一个特殊的性质，即堆中每个根节点的秩都不同。

为了维持这个性质，可以使用一个数组，其中第 i 个元素表示根节点秩为 i 的二项树。这意味着，对于一个二项式堆，可以在 O(log n) 的时间内寻找最小的根节点，因为只需要检查数组中所有的非空位置。

操作

插入

二项式堆的插入操作可以通过将一个新的二项树加入到堆中实现。具体地，为了将一个新元素 x 插入堆中，我们先将它看作一个秩为 0 的二项树，然后将其与堆中的其他二项树合并。

合并两个二项树的过程类似于归并排序。具体来说，我们通过比较两个根节点的键值（即树中的数据）来确定哪个是新的根节点。这样得到的二项树会被添加到堆中。可以重复这个过程，直到所有的二项树都已经合并到堆中。

时间复杂度为 O(log n)。

合并

为了合并两个二项式堆，我们可以将它们中的一个堆作为新堆的子树（根据它们各自的根节点秩的大小），然后对于那个堆中的每个二项树，都将其插入到新堆中。

时间复杂度为 O(log n)。

寻找最小元素

寻找二项式堆中的最小元素从而实现优先队列的实现很容易，只需要遍历堆中的所有根节点，并找到其中键值最小的节点即可。

时间复杂度为 O(log n)。

总结

二项式堆是一种非常有用的数据结构，用于实现优先队列和堆。它的插入和查找最小元素操作都具有 O(log n) 的时间复杂度，使得其成为一个非常高效的算法。