匀速圆周运动

平面中的运动是指对象在两个坐标(例如x，y或y，z等)中移动。二维运动的示例之一是弹丸运动，其中对象在水平和垂直方向上都移动。匀速圆周运动是二维运动的另一个示例，其中物体以匀速运动以圆周运动，而速度在每个点上都不断变化，因为速度矢量的方向不断变化。

什么是匀速圆周运动?

匀速圆周运动是一种二维运动，其中对象在固定的圆周方向上以均匀的速度移动，但是由于对象的方向在每个点上都不断变化，因此速度也在不断变化，即每个点都是切线的方向。

当物体以圆周运动行进时，在每个点上物体都会受到一定的加速度，该加速度作用于圆的中心，这使物体在该圆中移动。该加速度称为“径向加速度”或“向心加速度” 。

在匀速圆周运动中，作用于中心的力称为向心力，为了平衡该力，作用在圆之外的力称为离心力。

Note:

• The Centripetal force always acts towards the centre.
• The direction of Velocity is always tangent to the circle at all points.
• The acceleration vector will always be perpendicular to the velocity vector and hence, will always point towards the centre.
• The angular velocity is given as, w= v/r

where, w= angular velocity

v = magnitude of velocity

r = radius of the circle

• The magnitude of acceleration is given as, a=v²/r
• The value of angular acceleration is always zero in uniform circular motion since the angular velocity is constant.

角位移

在圆形路径中，角位移是位置矢量对着中心的角度。角位移的单位是弧度。角位移的公式为

dθ = dS/r

Where, 

dS = Linear displacement

r = radius of the circle.

角速度

角速度的定义与线速度相同，即角速度是角位移的变化率。角速度的单位为弧度/秒。给出为

w = dθ/dt (rad/sec)

The linear velocity is related to angular velocity as, v=wr.

角加速度

加速度定义为角速度的变化率(w)。角加速度的单位为Radian / sec ² 。线性加速度与角加速度有关，因为a _l =αr

角加速度为

α = dw/dt

Where, 

α = angular acceleration

dw= change in angular velocity

dt= change in time

向心力

有加速度，因此必须有力。以匀速圆周运动作用在物体上的净力是向内的，称为向心力。

朝中心作用的力为

$\sum F= mass. acceleration = ma_r= \frac{mv^2}{r}=mw^2r$

匀速圆周运动的运动方程

以匀速圆周运动的物体在每个时间点都将具有一定的位置和速度，因此可以用位置矢量表示。想象一下，粒子具有位置矢量$\vec{r}(t)$在振幅为P的情况下，向量在x和y坐标上均行进，因此，它将具有x和y轴的分量。通常，如果物体以统一的角频率“ w”运动，则在时间“ t”，它将具有以下值：

位置向量(P)⇢ $\vec{r}(t)$

位置向量的X分量$|\vec{r}(t)|Coswt$

位置向量⇢的Y分量$|\vec{r}(t)|sinwt$

其中，w表示为$w=\frac{2\pi}{T}$

T =时间段

Equation for Position Vector, $\vec{r}(t)=iP|\vec{r}(t)|coswt+jP|\vec{r}(t)|sinwt$

速度矢量可以通过微分位置矢量wrt时间来轻松获得，

$\vec{v}(t)=-iwP|\vec{r}(t)|sinwt+jwP|\vec{r}(t)|coswt$

同样，通过微分速度矢量wrt时间，可以轻松获得加速度矢量，

$\vec{a}(t)=-iw^2P|\vec{r}(t)|coswt-jw^2P|\vec{r}(t)|sinwt$

根据上式，可以很容易地计算出加速度矢量和位置矢量之间的关系，

$\vec{a}(t)=-w^2|\vec{r}(t)|$

样本问题

问题1：举例说明匀速圆周运动。

回答：

Practical examples of Uniform Circular motion:

• The motion of the electrons in an atom around the nucleus.
• Wall of Death: The bike has a normal force acting towards the centre which makes it move in a circle.
• The Artificial satellite moving around the Earth is an example of uniform circular motion. The gravitational force from the centre of the earth exerted upon the satellite acts as the centripetal force for it.

问题2：一名骑自行车者以5m / sec的速度转弯，如果他将速度提高一倍，自行车对中心的作用力将如何变化?

解决方案：

The centripetal force is given as,

$\sum F= mass. acceleration = ma_r= \frac{mv^2}{r}$

It is observed that F∝ v²

Therefore, if the velocity is doubled, the force acting on the bicycle will become 4 times than before.

问题3：一架飞机以120 m / sec的速度飞行，它转弯以连接与地面成水平的圆形路径。如果向心加速度等于重力引起的加速度，那么形成的圆形路径的半径将是多少。

解决方案：

The centripetal acceleration is given as,

a_c =v²/r

r= a_c× v²

Let’s assume the acceleration due to gravity to be 10m/sec²

r= 10 × 120 × 120

r= 144000m

r= 144 km

问题4：用于测量电机或匀速圆形电动机中运动的物体的旋转速度的设备是什么?

回答：

Tachometer is the device which is used to measure the speed of rotation in electrical machines or in objects moving in uniform circular motion.

问题5：当物体以匀速圆周运动时，就会应用能量守恒的特性。如何?

回答：

The conservation of energy is a universal fact and this is properly applied when an object moves in uniform circular motion, when the object moves in uniform circular motion, the speed remains constant and hence, the kinetic energy remains constant. however, due to the constant change in velocity, the momentum keeps on changing.

问题6：假设您坐在房间里，并且觉得有必要提高风扇的速度，增加了调节器，并且叶片以2 rad / sec ^2的速度加速。它加速了3秒钟，叶片的最终角频率变为7 rad / sec。初始角频率是多少?

解决方案：

The formula for Angular velocity is, 

α = Δw/ Δt

The time for which the blades accelerated= 3 seconds.

Acceleration = 2 rad/sec²

2 ={w_f – w_i}/ Δt

2 = {7 – w_i} / 3

7- w_i = 6

w_i = 1 rad/sec