第12类RD Sharma解–第7章矩阵的伴随和逆–练习7.2

通过使用基本行变换来找到以下每个矩阵的逆(问题1-16)：

问题1 $\begin{bmatrix}7&1\\4&-3\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}7&1\\4&-3\end{bmatrix}$

A = AI 

Using elementary row operation

⇒$\begin{bmatrix}7&1\\4&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> 1/7R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&1/7\\4&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/7&0\\0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – 4R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&1/7\\0&-25/7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/7&0\\-4/7&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> (-7/25)R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&1/7\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/7&0\\4/25&-7/25\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 1/7R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}21/175&1/25\\4/25&-7/25\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 =$\begin{bmatrix}3/25&1/25\\4/25&-7/25\end{bmatrix}$

问题2 $\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}$

A = AI

Using elementary row operation

⇒$\begin{bmatrix}5&2\\2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> 1/5R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&2/5\\2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/5&0\\0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₂ – 2R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&2/5\\0&1/5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/5&0\\-2/5&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> 5R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&2/5\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/5&0\\-2&5\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 2/5R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-2\\-2&5\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1= $\begin{bmatrix}1&-2\\-2&5\end{bmatrix}$

问题3。 $\begin{bmatrix}1&6\\-3&5\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}1&6\\-3&5\end{bmatrix}$

A = AI

Using elementary row operation

 ⇒$\begin{bmatrix}1&6\\-3&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ + 3R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&6\\0&23\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\3&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> 1/23R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&6\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\3/23&1/23\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 6R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5/23&-6/23\\3/23&1/23\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $1/23\begin{bmatrix}5&-6\\3&1\end{bmatrix}$ 

问题4。 $\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, $\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}$

A = AI

Using elementary row operation

⇒$\begin{bmatrix}2&5\\1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> 1/2R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&5/2\\1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0\\0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&5/2\\0&1/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0\\-1/2&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> 2R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&5/2\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0\\-1&2\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 5/2R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-5\\-1&2\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}3&-5\\-1&2\end{bmatrix}$  

问题5 $\begin{bmatrix}3&10\\2&7\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}3&10\\2&7\end{bmatrix}$

A = AI

⇒$\begin{bmatrix}3&10\\2&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> 1/3R₁

$\begin{bmatrix}1&10/3\\2&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0\\0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – 2R₁

$\begin{bmatrix}1&10/3\\0&1/3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0\\-2/3&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> 3R₂

$\begin{bmatrix}1&10/3\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0\\-2&3\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 10/3R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&-10\\-2&3\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}7&-10\\-2&3\end{bmatrix}$  

问题6。 $\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&3\\3&1&1\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&3\\3&1&1\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}0&1&2\\1&2&3\\3&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ ↔ R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\3&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> R₃ – 3R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&2&2\\0&1&2\\0&-5&-8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&-3&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 2R₂, R₃ -> R₃ + 5R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1&0\\1&0&0\\5&-3&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> R₃/2

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1&0\\1&0&0\\5/2&-3/2&1/2\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + R₃, R₂ -> R₂ – 2R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&-1/2&1/2\\-4&3&1\\5/2&-3/2&1/2\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 =$\begin{bmatrix}1/2&-1/2&1/2\\-4&3&1\\5/2&-3/2&1/2\end{bmatrix}$

问题7。 $\begin{bmatrix}2&0&-1\\5&1&0\\0&1&3\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}2&0&-1\\5&1&0\\0&1&3\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}2&0&-1\\5&1&0\\0&1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁/2

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/2\\5&1&0\\0&1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – 5R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/2\\0&1&5/2\\0&1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\-5/2&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> R₃ – R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/2\\0&1&5/2\\0&0&1/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\-5/2&1&0\\5/2&-1&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> 2R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/2\\0&1&5/2\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\-5/2&1&0\\5&-2&2\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + 1/2R₃, R₂ -> R₂ – 5/2R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-1&1\\-15&6&-5\\5&-2&2\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}3&-1&1\\-15&6&-5\\5&-2&2\end{bmatrix}$   

问题8。 $\begin{bmatrix}2&3&1\\2&4&1\\3&7&2\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}2&3&1\\2&4&1\\3&7&2\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}2&3&1\\2&4&1\\3&7&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> 1/2R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&3/2&1/2\\2&4&1\\3&7&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – 2R₁, R₃ -> R₃ – 3R₁

 ⇒$\begin{bmatrix}1&3/2&1/2\\0&1&0\\0&5/2&1/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\-1&1&0\\-3/2&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 3/2R₂, R₃ -> R₃ – 5/2R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&1/2\\0&1&0\\0&0&1/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-3/2&0\\-1&1&0\\1&-5/2&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> 2R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&1/2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&-3/2&0\\-1&1&0\\2&-5&2\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 1/2R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&1&0\\2&-5&2\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&1&0\\2&-5&2\end{bmatrix}$    

问题9。 $\begin{bmatrix}3&-3&4\\2&-3&4\\0&-1&1\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}3&-3&4\\2&-3&4\\0&-1&1\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}3&-3&4\\2&-3&4\\0&-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> 1/3R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&-1&4/3\\2&-3&4\\0&-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – 2R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&-1&4/3\\0&-1&4/3\\0&-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0&0\\-2/3&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> (-1)R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&-1&4/3\\0&1&-4/3\\0&-1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0&0\\2/3&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + R₂, R₃ -> R₃ + R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-4/3\\0&0&-1/3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\2/3&-1&0\\2/3&-1&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> (-3)R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-4/3\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\2/3&-1&0\\2&-3&3\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ + 4/3R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1&0\\-2&3&-4\\-2&3&3\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}1&-1&0\\-2&3&-4\\-2&3&-3\end{bmatrix}$  

问题10。 $\begin{bmatrix}1&2&0\\2&3&-1\\1&-1&3\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}1&2&0\\2&3&-1\\1&-1&3\end{bmatrix}$

⇒$\begin{bmatrix}1&2&0\\2&3&-1\\1&-1&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – 2R₁, R₃ -> R₃ – R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&2&0\\0&-1&-1\\0&-3&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> (-1)R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&2&0\\0&1&1\\0&-3&3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&-1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 2R₂, R₃ -> R₃ + 3R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&1&1\\0&0&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&2&0\\2&-1&0\\5&-3&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> R₃/6

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-2\\0&1&1\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-3&2&0\\2&-1&0\\5/6&-1/2&1/6\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + 2R₃, R₂ -> R₂ – R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4/3&1&1/3\\7/6&-1/2&-1/6\\5/6&-1/2&1/6\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}-4/3&1&1/3\\7/6&-1/2&-1/6\\5/6&-1/2&1/6\end{bmatrix}$  

问题11 $\begin{bmatrix}2&-1&3\\1&2&4\\3&1&1\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}2&-1&3\\1&2&4\\3&1&1\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}2&-1&3\\1&2&4\\3&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁/2

⇒$\begin{bmatrix}1&-1/2&3/2\\1&2&4\\3&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – R₁, R₃ -> R₃ – 3R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&-1/2&3/2\\0&5/2&5/2\\0&5/2&-7/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\-1/2&1&0\\-3/2&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> (2/5)R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&-1/2&3/2\\0&1&1\\0&5/2&-7/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\-1/5&2/5&0\\-3/2&-1&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + 1/2 R₂, R₃ -> R₃ – 5/2R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\\0&0&-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/5&1/5&0\\-1/5&2/5&0\\-1&-1&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> R₃/-6

⇒$\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\\0&0&-6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2/5&1/5&0\\-1/5&2/5&0\\1/6&1/6&-1/6\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – R₃, R₁ -> R₁ – 2R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/15&-2/15&-1/3\\-11/30&7/30&1/6\\1/6&1/6&-1/6\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}1/15&-2/15&-1/3\\-11/30&7/30&1/6\\1/6&1/6&-1/6\end{bmatrix}$

问题12。 $\begin{bmatrix}1&1&2\\3&1&1\\2&3&1\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}1&1&2\\3&1&1\\2&3&1\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}1&1&2\\3&1&1\\2&3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – 3R₁, R₃ -> R₃ – 2R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&1&2\\0&-2&-5\\0&1&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\-3&1&0\\-2&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂/(-2)

⇒$\begin{bmatrix}1&1&2\\0&1&5/2\\0&1&-3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\3/2&-1/2&0\\-2&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – R₂, R₃ -> R₃ – R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/2\\0&1&5/2\\0&0&-11/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1/2&1/2&0\\3/2&-1/2&0\\-7/2&1/2&-2/11\end{bmatrix}A$

R₃ -> (-2/11)R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/2\\0&1&5/2\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1/2&1/2&0\\3/2&-1/2&0\\7/11&-1/11&-2/11\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + 1/2R₃, R₂ -> R₂ – 5/2R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2/11&5/11&-1/11\\-1/11&-3/11&5/11\\7/11&-1/11&-2/11\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}-2/11&5/11&-1/11\\-1/11&-3/11&5/11\\7/11&-1/11&-2/11\end{bmatrix}$

问题13。 $\begin{bmatrix}2&-1&4\\4&0&2\\3&-2&7\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}2&-1&4\\4&0&2\\3&-2&7\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}2&-1&4\\4&0&2\\3&-2&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> 1/2R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&-1/2&2\\4&0&2\\3&-2&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – 4R₁, R₃ -> R₃ – 3R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&-1/2&2\\0&2&-6\\0&-1/2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\-2&1&0\\-3/2&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> 1/2R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&-1/2&2\\0&1&-3\\0&-1/2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/2&0&0\\-1&1/2&0\\-3/2&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + 1/2R₂, R₃ -> R₃ + 1/2R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&1/2\\0&1&-3\\0&0&-1/2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1/4&0\\-1&1/2&0\\-2&1/4&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> (-2)R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&1/2\\0&1&-3\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1/4&0\\-1&1/2&0\\4&-1/2&-2\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 1/2R₃, R₂ -> R₂ + 3R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2&1/2&1\\11&-1&-6\\4&-1/2&-2\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}-2&1/2&1\\11&-1&-6\\4&-1/2&-2\end{bmatrix}$

问题14。 $\begin{bmatrix}3&0&-1\\2&3&0\\0&4&1\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}3&0&-1\\2&3&0\\0&4&1\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}3&0&-1\\2&3&0\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> (1/3)R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/3\\2&3&0\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – 2R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/3\\0&3&2/3\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0&0\\-2/3&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> (1/3)R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/3\\0&1&2/9\\0&4&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0&0\\-2/9&1/3&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> R₃ – 4R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/3\\0&1&2/9\\0&0&1/9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0&0\\-2/9&1/3&0\\8/9&-4/3&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> 9R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/3\\0&1&2/9\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1/3&0&0\\-2/9&1/3&0\\8&-12&9\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + 1/3R₃, R₂ -> R₂ – 2/9R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&-4&3\\-2&3&-2\\8&-12&9\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}3&-4&3\\-2&3&-2\\8&-12&9\end{bmatrix}$

问题15。 $\begin{bmatrix}1&3&-2\\-3&0&1\\2&1&0\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A = $\begin{bmatrix}1&3&-2\\-3&0&1\\2&1&0\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}1&3&-2\\-3&0&1\\2&1&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> 3R₁ + R₂, R₃ -> R₃ – 2R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&3&-2\\0&9&-5\\0&-5&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\3&1&0\\-2&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ – 3R₂, R₃ -> R₃ + 5R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/3\\0&1&-5/9\\0&0&11/9\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&-1/3&0\\1/3&1/9&0\\-3/11&5/11&9/11\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ + 5/9R₃, R₁ -> R₁ + 1/3R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1/11&-2/11&3/11\\2/11&4/11&5/11\\-3/11&5/11&9/11\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}-1/11&-2/11&3/11\\2/11&4/11&5/11\\-3/11&5/11&9/11\end{bmatrix}$

问题16。 $\begin{bmatrix}-1&1&2\\1&2&3\\3&1&1\end{bmatrix}$

解决方案：

Here, A= $\begin{bmatrix}-1&1&2\\1&2&3\\3&1&1\end{bmatrix}$

A = IA

⇒$\begin{bmatrix}-1&1&2\\1&2&3\\3&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> (-1)R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&-1&-2\\1&2&3\\3&1&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂ – R₁, R₃ -> R₃ – 3R₁

⇒$\begin{bmatrix}1&-1&-2\\0&3&5\\0&4&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0&0\\1&1&0\\3&0&1\end{bmatrix}A$

R₂ -> R₂/3

⇒$\begin{bmatrix}1&-1&-2\\0&1&5/3\\0&4&7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&0&0\\1/3&1/3&0\\3&0&1\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + R₂, R₃ -> R₃ – 4R₂

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/3\\0&1&5/3\\0&0&1/3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2/3&1/3&0\\1/3&1/3&0\\5/3&-4/3&1\end{bmatrix}A$

R₃ -> R₃/3

⇒$\begin{bmatrix}1&0&-1/3\\0&1&5/3\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2/3&1/3&0\\1/3&1/3&0\\5&-4&3\end{bmatrix}A$

R₁ -> R₁ + 1/3R₃, R₂ -> R₂ – 5/3R₃

⇒$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1&1\\-8&7&-5\\5&-4&3\end{bmatrix}A$

Therefore, A^-1 = $\begin{bmatrix}1&-1&1\\-8&7&-5\\5&-4&3\end{bmatrix}$