2D形状的面积

面积是表示平面中二维图形或形状或平面薄片的范围的量。薄片形状包括可以在平面上绘制的2D图形，例如圆形，正方形，三角形，矩形，梯形，菱形和平行四边形。

多边形是由直线形成的二维形状。多边形的例子是三角形，六边形和五边形。

形状的名称描述了形状中存在多少个边。例如，三角形由三个边组成，而矩形具有四个边。因此，可以使用三条直线形成的任何形状称为三角形，而可以通过链接四条线绘制的任何形状称为四边形。

该区域是要考虑的形状的边界/周长内的区域。

2D形状的面积

任何2D形状的面积都是其中包含的区域的大小。在几何形状中，面积可以定义为物体的平面或表面所占据的空间。图形的面积是覆盖图形表面的单位正方形的数量。面积以平方单位测量，例如平方厘米，平方英尺，平方英寸等。

SI unit: Square metre (m²)

这些是一些二维几何

• 圆圈

• 长方形

• 正方形

•三角形等

圆圈

圆是闭合平面的几何形状。用技术术语来说，圆是一个点的轨迹，该点围绕固定点在距该点一定距离的范围内移动。圆形是由平面上与给定点(中心)相距给定距离的所有点组成的形状。它是由在平面中移动的点所描绘的曲线，因此它与给定点的距离是恒定的。

圆基本上是一条闭合曲线，其外线与中心等距。距该点的固定距离是圆的半径。

在现实生活中，您将获得许多圆形示例，例如轮子，比萨饼，圆形地面等。

半径

圆的半径是将圆的中心连接到外边界的线。通常用“ r”或“ R”表示。

在圆的面积和圆周的公式中，半径起着重要的作用，您将在后面学习。

直径

圆的直径是将圆分成两个相等部分的线。我们可以轻松地说，它只是圆弧半径的两倍，用d’或’D’表示。

因此，d = 2r或D = 2R

如果我们知道圆的直径，我们可以计算圆的半径，例如；

r = d / 2或R = D / 2

或者

它是由在平面中移动的点所描绘的曲线，因此它与给定点的距离是恒定的。

圆的面积

任何几何形状都有其自己的区域。该区域是该形状在二维平面中所占据的区域。因此，在二维平面上，圆的半径的一个完整周期所覆盖的面积就是该圆的面积。

现在我们如何计算任何圆形物体或空间的面积?在这种情况下，我们将公式用于圆的面积。

在几何形状中，半径为r的圆所包围的面积为πr²。在此，希腊字母π表示任何圆的周长与其直径的恒定比率，大约等于22/7或3.14159。

Example: Find Out the area of the following circle.

Given:

Radius of Circle r= 7 cm

Find Out:

Area of Circle=?

Formula Used:

Area of Circle= πr²

Putting the value of r in formula

Area of Circle = 3.14159 × 7 × 7

Area of Circle=154 cm²

长方形

矩形的面积是矩形在二维平面中覆盖的区域。矩形是具有四个边和四个顶点的2d形状。矩形的所有四个角度均为直角。矩形的相对边相等且彼此平行。

要注意的是，平行四边形的相对侧也彼此相等且彼此平行，但是角度不等于90度。它也可以定义为：等角四边形，因为等角意味着它的所有角度都相等；或包含直角的平行四边形。

任何物体的大小都可以通过多种方式进行测量。例如，我们通常都计算建筑物的高度或游泳池的大小以及其深度。

矩形物体的面积是多少，如何找出矩形的面积?只能对三维图形计算侧向和总表面积。我们无法计算矩形，因为它是一个二维图形

长方形

矩形面积

矩形的面积等于矩形的长度和高度的乘积。

矩形ABCD的面积= h × l

Example: Find Out the area of the following rectangle

Given:

Length of Rectangle l = 16 cm

Height of Rectangle h = 11 cm

Find Out:

Area of Rectangle =?

Formula Used:

Area of Rectangle = h × l

Putting the value of h and l in formula

Area of Rectangle = 11 × 16

Area of Rectangle =176 cm²

正方形

正方形的面积定义为填充正方形所需的正方形单位数。通常，该区域定义为在平面物体或2d图形的边界内占据的区域。测量以平方单位完成，标准单位为平方米(m ² )。

正方形是四边形的多边形(2d形状)，其四个边的长度相等，并且所有角度均等于90°。

或者

正方形是具有相等边的矩形。该区域是对象覆盖的空间。它是任何形状所占据的区域。

在测量正方形的面积时，我们仅考虑其边长。正方形的所有边均相等，因此，其面积等于该边的正方形。

正方形

广场面积

正方形的面积等于正方形边的正方形。

平方面积=(边) ²

平方面积= a ²

Example: Find Out the area of the following square.

Given:

Side of Rectangle a = 8 cm

Find Out:

Area of Square =?

Formula Used:

Area of Square = a²

Putting the value of h and l in formula

Area of Rectangle = (8cm)²

Area of Rectangle = 64 cm²

三角形

三角形是具有三个边和三个顶点的多边形。它是几何中的基本形状之一。通常，术语“区域”定义为在平面物体或图形的边界内占据的区域。测量以平方单位进行，标准单位为平方米(m2)。

对于面积的计算，存在用于正方形，矩形，圆形，三角形等的预定义公式。三角形的面积定义为由任何特定三角形的三个边包围的总区域。它适用于所有类型的三角形，无论是斜角，等腰还是等边三角形。要注意的是，三角形的底和高度彼此垂直。

具有顶点A，B和C的三角形表示为三角形ABC。

或者

在欧几里得几何中，任何三个点在非共线时，将确定一个唯一的三角形，并同时确定一个唯一的平面。

三角形

三角形面积

对于给定的三角形，其中三角形的底边是b且高度是h，则三角形的面积可以通过以下公式计算：

$A = \frac{1}{2} (b \times h)$

每当高度h未知时，我们也可以使用Heron公式确定三角形的面积。因此，现在我们将讨论苍鹭的公式。

Example: Find out the area of the triangle with height of 13 cm and base of 14 cm.

Given:

Base of Triangle b = 14 cm

Height of Triangle h = 13 cm

Find out: Area of Triangle =?

Formula Used:

$Area of Triangle = \frac{1}{2}(b \times h)$

Putting the value of h and l in formula

$Area of Triangle = \frac{1}{2} \times 14 \times 13$

Area of Triangle = 91 cm²

苍鹭的配方

它也被称为英雄公式。我们不必知道三角形的角度测量即可计算出其面积。在几何学中，以亚历山大·希罗亚(Hero of Alexandria)的名字命名的苍鹭公式(有时称为英雄公式)可以在知道所有三个边的长度时给出三角形的面积。

亚历山大英雄(Alexandria Hero)是一位伟大的数学家，他利用三边的长度得出了三角形面积的计算公式。他还扩展了这个想法，以找到四边形以及高阶多边形的区域。

该公式在三角学中有广泛的应用，例如证明余弦定律或余切定律等。

根据Heron的说法，只要提供三角形的边，就可以使用公式找到任何给定三角形的面积，无论是斜角形，等腰形还是等边形。

假设有一个三角形ABC，其边分别是a，b和c。因此，三角形的面积可以由下式给出：

$Area of Triangle = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Where

a = length of side a

b = length of side b

c = length of side c

s = semi-perimeter

$s =\frac{a+b+c}{2}$

示例：找出以下三角形的面积

Given:

First side of Triangle a = 7 cm

Second side of Triangle b = 9 cm

Third side of Triangle c = 10 cm

Find Out:

Area of Triangle =?

Formula Used:

Area of Triangle $= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Putting the values in formula

$s =\frac{a+b+c}{2}$

$s = \frac{7+9+10}{2}$

s = 13

Now

Area of Triangle = $\sqrt{13(13-7)(13-9)(13-10)}$

Area of Triangle = $\sqrt{13(6)(4)(3)}$

Area of Triangle = $\sqrt{936}$

Area of Triangle = 30.59 cm²

苍鹭公式在寻找四边形区域中的应用

可以将四边形绘制为两个三角形的总和，因此我们可以使用Heron公式来查找四边形的面积。我们可以通过一个例子来理解

示例：使用Heron公式找出以下四边形的面积。

Given:

Length of quadrilateral l = 12 cm

Height of quadrilateral h = 5 cm

Find Out:

Area of quadrilateral =?

Formula Used:

Area of quadrilateral using Heron’s Formula.

Quadrilateral ABCD can also be draw as sum of two triangles ABD and BCD

We can calculate area of triangles using heron’s Formula where

a = 12 cm

b = 5 cm

c = 13 cm (Using Pythagoras Theorem)

Now area of triangle ABD

$s =\frac{a+b+c}{2}$

$s =\frac{12+5+13}{2}$

s = 15

Now

Area of Triangle = $\sqrt{15(15-12)(15-5)(15-13)}$

Area of Triangle = $\sqrt{15(3)(10)(2)}$

Area of Triangle = $\sqrt{900}$

Area of Triangle = 30 cm²

Similarly, area of triangle BCD = 30 cm²

Total Area of ABCD = Area of triangle ABD + Area of triangle BCD

Area of ABCD = 30 cm² + 30 cm²

Area of ABCD = 60 cm²

We can verify this answer using simple area formula of rectangle which is length × height. Area of rectangle is 12×5 equals to 60 cm² which is equal using Heron’s Formula.

示例：找出高度为12厘米，底边为9厘米的三角形区域。

解决方案：

Given:

Base of Triangle b = 9 cm

Height of Triangle h = 12 cm

Find out: Area of Triangle =?

Formula Used:

Area of Triangle = $\frac{1}{2} (b \times h)$

Putting the value of h and l in formula

Area of Triangle = $\frac{1}{2} \times 12 \times 9$

Area of Triangle = 54cm²