设 A 和 B 是实数上的两个 n×n 矩阵。让 rank(M) 和 det(M) 分别表示矩阵 M 的秩和行列式。考虑以下陈述。
I. rank(AB) = rank(A)*rank (B)
II. det(AB) = det(A)*det(B)
III. rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)
IV. det(A+B) ≤ det(A) + det(B) 以上哪些陈述是正确的?
(A)仅 I 和 II
(B)仅 I 和 IV
(C)仅 II 和 III
(D)仅限 III 和 IV答案： (C)
解释： I.错误。根据矩阵的秩的性质：
if P(A) = m and P(B)=n then P(AB) ≤ min(m,n) 但是，如果 A 和 B 是 n 阶方阵，则
P(AB) = P(A) + P(B) – n 二、真的。也就是说，乘积的行列式等于行列式的乘积。
三、真的。因为，两个非奇异矩阵之和的合成矩阵可以是奇异矩阵。
四、错误的。因为，两个奇异矩阵之和的结果矩阵可以是非奇异矩阵。
选项(C)是正确的。
这个问题的测验