GATE CS 2019 | 问题 37

问题描述

给定一个包含 $n$ 个整数的未排序数组 $A_1, A_2, ..., A_n$，判断是否存在一个子集 $S$，使得 $S$ 中任意两个元素之和不同于 $A$ 中任意两个元素之和。

示例

示例 1

输入：

n = 4
A = [1, 3, 3, 4]

输出：

NO

示例 2

输入：

n = 5
A = [1, 2, 2, 3, 4]

输出：

YES

解决方案

这是一道非常经典的问题，可以使用哈希表进行解决。我们将所有的二元组 $(A_i, A_j)$ （其中 $i<j$）都计算一下它们的和 $s_{ij}=A_i+A_j$，并将这些和存入一个哈希表 $S$ 中。接着，我们枚举子集 $S$ 中的任意两个元素 $s_{ij}$ 和 $s_{kl}$，判断它们是否相等。如果存在相等的，说明原数组中存在一个子集的任意两个元素之和相等。

算法的时间复杂度为 $O(n^2)$。

def check_subset(A):
    n = len(A)

    # 计算所有的二元组的和
    S = {}
    for i in range(n):
        for j in range(i+1, n):
            s = A[i]+A[j]
            if s in S:
                S[s].append((i, j))
            else:
                S[s] = [(i, j)]

    # 枚举子集
    for mask in range(1<<n):
        if mask == 0:
            continue

        # 枚举子集中的任意两个元素
        indices = [i for i in range(n) if mask&(1<<i)]
        for i in range(len(indices)):
            for j in range(i+1, len(indices)):
                if (indices[i], indices[j]) in S[A[indices[i]]+A[indices[j]]]:
                    return 'NO'

    return 'YES'

总结

本题考察了哈希表的使用和子集的枚举。虽然这个题目并不难，但是对于初学者来说，哈希表的学习和掌握需要花费较长的时间。同时，对于一些高级语言（比如Python）的使用也对于解决这个问题非常有帮助。