门 | GATE CS 2020 |问题 37

这是GATE CS 2020年的第37个问题，涉及到对图形的遍历和最短路径算法。在这个问题中，我们需要遍历一个图形，找到一条最短路径，并计算其长度。

问题描述

给定一个 $n \times n$ 的矩阵，其中每个元素都是 0 或 1。我们可以把一个 1 从一个位置移动到另一个位置，但只有在它们在同一行或同一列上时才可以移动。两个位置之间的距离被定义为它们之间的曼哈顿距离。找到从给定源位置 $(x_1, y_1)$ 到目标位置 $(x_2, y_2)$ 的最短路径，并计算其长度。

解题思路

这个问题可以使用 Breadth First Search（BFS）算法来解决。我们可以把一个节点看做是矩阵中的一个点，如果两个点在同一行或同一列且它们之间没有障碍物，则它们之间存在一条边。对于每个节点，我们求出它到源节点的距离并将其记录在一个距离矩阵中。在 BFS 算法中，我们首先将源节点入队，并将其距离设置为 0。然后，我们从队列中取出一个节点，将它相邻的未访问过的节点入队，并将它们的距离设置为当前节点的距离加上 1。这样我们最终可以得到每个节点到源节点的最短距离。

代码实现

下面是一个可能的实现，它使用BFS算法来遍历矩阵并计算距离矩阵。其中，代码中的 matrix 是一个 $n \times n$ 的矩阵，表示图形。start 和 end 是源节点和目标节点的坐标，n 是矩阵的大小。dist 是一个 $n \times n$ 的矩阵，用于存储每个节点到源节点的最短距离。如果目标节点无法从源节点到达，则返回 -1。

from collections import deque

def shortest_path(matrix, start, end, n):
    # Initialize the distance matrix with infinity
    dist = [[float('inf') for i in range(n)] for j in range(n)]
    
    # Initialize the starting node distance as 0
    x, y = start
    dist[x][y] = 0
    
    # Initialize the queue with the starting node
    queue = deque([(x, y)])
    
    # Define the direction vectors
    dx = [0, 0, 1, -1]
    dy = [1, -1, 0, 0]
    
    # Start the BFS
    while queue:
        curr_x, curr_y = queue.popleft()
        
        for i in range(4):
            new_x = curr_x + dx[i]
            new_y = curr_y + dy[i]
            
            # Check if the new node is inside the matrix
            if new_x < 0 or new_x >= n or new_y < 0 or new_y >= n:
                continue
            
            # Check if the new node can be visited
            if matrix[new_x][new_y] == 0:
                continue
            
            # Update the distance if it's shorter
            if dist[new_x][new_y] > dist[curr_x][curr_y] + 1:
                dist[new_x][new_y] = dist[curr_x][curr_y] + 1
                
                # Add the new node to the queue
                queue.append((new_x, new_y))
    
    # Return the distance to the end node
    x, y = end
    if dist[x][y] == float('inf'):
        return -1
    else:
        return dist[x][y]

总结

这个问题涉及到图形遍历和最短路径算法。我们可以使用 BFS 算法来遍历矩阵并计算距离矩阵，从而找到源节点和目标节点之间的最短路径。本文提供了一个可能的实现，希望能够对读者有所帮助。