门 | GATE CS 2018 | 问题 37

背景

这是一道来自2018年GATE CS考试的问题，属于计算机科学领域。题目要求使用一种特定的算法解决问题。

问题描述

假设您有一个3维空间中的网格结构。每个节点可以被视为代表一个桶，可以存储一些雨水。现在，如果整个网格结构在垂直方向上被洒落了雨水，您需要确定可以在不使任何水溢出的情况下在所有桶中储存多少水。

例如，考虑下面的3 x 3 x 3网格：

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如果雨水被洒在该结构中，您需要确定所有节点（或桶）中可以容纳的最大水量。在上面的模型中，最大容量是24个单位。

要求

实现一个算法，来计算上述问题的答案。算法必须满足以下条件:

• 函数原型： int MaxWaterCapacity(int ***structure, int dim);
• 首先使用函数参数dim检查输入结构是否符合要求。
• 如果输入结构不符合要求，函数应该返回0。
• 如果输入结构符合要求，函数应该返回最大可容纳的水量。
• 可以假定输入结构的每个节点都是立方体且相同的大小。

提示:

• 考虑将结构划分为水平层，并根据节点底部的高度计算在每个节点中可以容纳多少水。
• 可以考虑用动态编程来实现这个问题。

解答

这是一道比较典型的动态规划问题，我们可以考虑先将网格划分为水平层，并计算每一层上每个节点可以容纳的水量。具体实现可以参考以下步骤：

1. 首先检查输入结构是否符合标准，如果不符合则返回0.
2. 计算每个节点的高度，从底层向上逐层计算，同时更新每个节点可以容纳水量的值。具体的计算公式为： $$water(i,j,k) = min(left,right) - height(i,j,k),$$ 其中，left表示当前节点左边最高高度（不含当前节点），right表示当前节点右边最高高度（不含当前节点），height(i,j,k)表示当前节点的高度。
3. 将每个节点在它们的所有水平层的容量值相加，得到最大容量。

具体的代码实现，可以参考以下C++代码：

int MaxWaterCapacity(int ***structure, int dim) {
  int res = 0;
  if (structure == NULL) {  // 输入结构不符合要求，返回0
    return res;
  }
  //计算每个节点的高度，同时更新容量值
  for (int k = 0; k < dim; k++) { //水平层数
    for (int i = 0; i < dim; i++) {
      for (int j = 0; j < dim; j++) {
        int height = structure[i][j][k];
        if (height == 0) { // 当前节点高度为0，不计算容量
          continue;
        }
        int left = 0, right = 0;
        for (int p = i - 1; p >= 0; p--) { //找到左边最高高度
          left = max(left, structure[p][j][k]);
        }
        for (int p = i + 1; p < dim; p++) { //找到右边最高高度
          right = max(right, structure[p][j][k]);
        }
        int water = min(left, right) - height; // 计算容量
        if (water > 0) { // 容量大于0才计入总和
          res += water;
        }
      }
    }
  }
  return res;
}

结论

这道问题是一道较为典型的动态规划问题，通过将网格划分为水平层，并计算每个节点的高度及容纳水量，即可得到最大容量。对于输入结构不符合要求的情况，需要特判并返回0。代码实现可参考上述C++代码。