证明阿姆斯特朗公理的正确性

先决条件– DBMS中功能依赖性的阿姆斯特朗公理
阿姆斯特朗(Armstrong)提到规则1至3既完整又健全。阿姆斯特朗公理是完整的，因为对于给定的一组功能依赖性F，可以使用这些规则从F派生^{F +所隐含的所有功能依赖性。}

我们需要证明的是
可以从给定的一组功能依赖关系(F_闭包)中通过逻辑得出的功能依赖关系集和可以从阿姆斯特朗公理(F _armstrong )推断出的一组功能依赖关系是相同的。在集合方面，如果我们要显示相等性，则将其写为：一个是另一个的适当子集。因此，我们需要证明

Fclosure  is a proper subset of Farmstrong 

正确性意味着可以从F导出的任何内容也可以使用阿姆斯特朗公理来导出。

F_闭合⁺表示F的闭合。在数学上，我们可以表示F_闭合⁺ = {A | F_结束⁺表示A可以使用Armstrong公理从F派生，其中A属于实数。

Claim-1：
${\displaystyle X\to Y}$_{当且仅当Y是F闭}⁺的适当子集时，才可以使用阿姆斯特朗公理从F导出。

证明“如果”部分：
令Y = {A ₀ ，A ₁ ，……，A _m ，}，其中Y是F_闭⁺的适当子集。 F_闭包⁺表示A _j可以使用Armstrong公理从F导出，其中A属于0 如果我们遵循工会规则， ${\displaystyle X\to Y}$是从F派生的

为了证明“仅当”部分：
${\displaystyle X\to Y}$是使用阿姆斯特朗公理从F派生的
根据投影法则，我们知道F_闭⁺表示A _j ，其中A属于0 因此，根据F _Closure ⁺的性质，A _j属于F _Closure ⁺ 。
这意味着Y是F _Closure ⁺的适当子集。

X使用阿姆斯特朗公理确定F跟随Y。
我们将试图证明上述说法是相反的。
我们将证明无法使用阿姆斯特朗公理从F确定X来确定Y。就元组关系而言，我们可以说，存在一个实例r属于实数，因此F的所有功能依赖项都保持在r上。但是，X表示Y不成立。
提到我们的假设是错误的，并且主张是正确的。
因此证明索赔01是正确的。

让我们考虑r只有2行，并由r {F_闭包⁺属性，其他属性}表示

Claim-2：
F的所有FD都由r满足。让我们再次反对它。令W表示属于F的R不满足r，则W是F _Closure ⁺的适当子集，而Z不是F _Closure ⁺的适当子集。
令G属于Z- F_闭包⁺

我们得到：
${\displaystyle X\to W}$因为W是F_闭⁺的适当子集，
${\displaystyle X\to Z}$根据及物性原则
${\displaystyle Z\to G}$根据自反性的规则，因为G属于Z，而
${\displaystyle X\to G}$根据传递性规则。

根据闭包的定义，G必须属于F_闭包⁺
我们有一个矛盾。
我们采取了一个被证明是错误的矛盾，这意味着该说法是正确的。
因此证明了权利要求02是正确的。

索赔3：
X表示Y不满足r。
我们再次假设矛盾(X并不意味着Y)。由于r的结构，Y是F_闭^+的一个适当子集，这意味着X表示Y可以使用阿姆斯特朗公理来证明。
我们的假设被证明是错误的，因此索赔是正确的。
因此证明了权利要求03是正确的。

这意味着，当使用Armsrong的公理表示X并不表示Y时，则F在逻辑上并不意味着X表示Y。
我们还可以说，当X表示Y时，使用Armsrong的公理(机械地)，则F逻辑上也意味着X也表示Y。
因此证明了阿姆斯特朗的公理是完整的。