实数系统公理

在本文中，我们将了解有关实分析的一些非常基本的思想，即研究实数系统的结构。我们将讨论被认为由实数集满足的三个公理， $R$

这三个公理是：

1. 场公理
2. 顺序公理
3. 完备性公理

场公理：集合$R$表示为一个字段$(R, +, .)$在哪里$+$和$.$分别是加法和乘法的二元运算。它由 4 个用于加法和乘法的公理和一个分配律组成。

(i)加法公理：

• $a+b = b+a \ ∀ \ a,b \ ∈ R$
• $(a+b)+c = a+(b+c) \ ∀ \ a,b,c \ ∈ R$
• R 包含一个元素 0 使得$a + 0 = a \ ∀ \ a ∈ R$
• 对于每个$a ∈ R$对应一个元素$-a ∈ R$以至于$a+(-a) = 0$

(ii)乘法公理：

• $ab = ba \ ∀\ a,b ∈ R$
• $(ab)c = a(bc) \ ∀ \ a,b,c ∈ R$
• $R$包含一个元素$1$以至于$1.a = a \ ∀ \ a ∈ R$和$1 ≠ 0$
• 如果$a ∈ R \ and \ a≠0$那么存在一个元素$\frac{1}{a} ∈ R$以至于$a. (\frac{1}{a} ) = 1$

(iii)分配法：

• $a(b+c) = ab+ac \ ∀ \ a,b,c ∈ R$

顺序公理：我们定义$>$ (Greater Than) 作为顺序关系，它满足以下公理——

• 三分法——对于$a,b∈ R$只有一种表达式可以为真： $a>b , a=b , b>a$
• 传递性——对于$a,b,c∈R \ a>b,\ b>c ⇒ a>c$
• 加法的单调属性——对于$a,b,c∈R, \ a>b ⇒ a+c > b+c$
• 乘法的单调性质——对于$a,b,c∈R,\ a>b, c>0 ⇒ ac > bc$

我们称之为$>$线性顺序和$R$称为线性有序场。

在定义完备性公理之前，我们先来看看有界性的概念。在这里，在阐述完备性公理之前，我们将定义一些术语。

聚合：任何非空子集，说$A$ ， 的$R$被称为聚合。例如，集合$Z^+$是一个集合。类似地，集合 B = {1,2,4,8} 也是一个集合，因为$B ⊆ R$但是，集合 A = {x,y,z} 和空集$∅$不是聚合体。

上限：一个子集$S$的$R$被称为上界，如果$∃ \ k_1\ ∈ R$以至于$x ∈ S ⇒ x \leq k_1$ .这个号码$k_1$称为上界$S$ .例如，集合$R^-$负实数的上界和$0$是一个上限。同样，集合$Z^-$负整数的上界和$-1$是上限。但是，集$R^+$正实数的数量没有上界。

下界：一个子集$S$的$R$被称为下界如果$∃ \ k_2\ ∈ R$以至于$x ∈ S ⇒ x \geq k_2$这个号码$k_2$称为 S 的下界。例如，集合$R^+$下界和$0$是一个下界。同样，集合$Z^+$下界和$1$是上限。但是，集$R^-$不受以下限制。

最小上限：考虑一个上限$u$聚合的$S$和任何小于$u$不是上界$S$ ，那么我们说$u$是最小的上限(lub)或最高(sup) $S.$

最大下限：考虑下限$v$聚合的$S$和任何大于$v$不是下界$S$ ，那么我们说$v$是最大的下限 (glb) 或 infimum(inf) $S.$

例子：让$S = [0,1]$ .对于 S，我们看到 1 是上界，任何小于 1 的数都不是 S 的上界，因此，1 是 S 的上界。此外，0 是下界，任何大于 0 的数都不是下界界，所以 0 是 S 的下界。

有界：一个集合 S 是有界的，如果它既上界又下界。也就是说，它必须同时具有上限和下限。例如，任何有限集都是有界的，空集$∅$是有界的。但是，集$Q$和$R$不受限制。

注意：聚合不需要分别有最大和最小成员上界或下界。

现在完成了所需的定义，我们陈述了完备性公理(也称为最小上限公理) 。

“上面有界的每个非空实数集都有一个上界。”

集合 R 满足场公理、阶公理和完备性公理。因此实数集$R$称为完全有序域。

此外，有理数集， $Q$不满足完备性公理。因此， $Q$不是一个完整的字段。

完备性公理是实数系统的一个非常基本和重要的性质，因为证明各种微积分定理、最大值和最小值的概念、均值定理等都依赖于实数的完备性。