布尔代数公理

在本文中，我们将讨论布尔代数的公理；这些公理/定理很重要，因为它们也将用于数字电子的许多不同主题，例如顺序电路设计和组合电路设计。这些公理是数字电子学的基石。所以要仔细理解这些公理。现在我们将一一研究这些公理。

公理

逻辑表达式的集合称为公理或布尔代数的公设。公理只不过是三个基本逻辑运算（AND、OR 和 NOT）的定义。

这里，

• + 表示逻辑或运算
• .表示逻辑与运算
• ！表示逻辑非运算
• 0和1分别表示逻辑False和True
  • 0.0 = 0
  • 0.1 = 0
  • 1.0 = 0
  • 1.1 = 1
  • 0+0 = 0
  • 0+1 = 1
  • 1+0 = 1
  • 1+1 = 1
  • ！ 0 = 1
  • ！ 1 = 0

现在，正如我们已经讨论了布尔代数的基本公理，让我们尝试推广它们：

• 0.A = 0 （如果 A = 0，则 0.0 = 0，当 A=1 时，0.1 = 0，因此无论 A 的值如何，表达式始终为 0）
• 1+A =1 （如果 A = 0 则 1+0 =1，当 A=1 时，1+1 =1，因此无论 A 的值如何，表达式始终为 1）
• 0+A = A （如果 A = 0。则 0+0 = 0，当 A=1 时，0+1=1。因此表达式将始终等于 A 的值）
• 1.A = A （如果 A = 0，则 1.0 = 0，当 A=1 时，1.1=1。因此表达式将始终等于 A 的值）
• !A = A （如果 !A = 0 则 A = 1 且 !A = 1 则 A = 0）
• A+A = A （如果 A = 0 则 0+0 = 0，当 A =1 则 1+1 = 1）
• AA = A （如果 A = 0 则 0.0 = 0，当 A = 1 则 1.1 = 1）

这些通用表达式非常重要，因为它们用于简化许多布尔函数和表达式。最小化布尔函数对于消除变量和门级最小化很有用。

布尔代数与算术代数的比较：

• 在算术代数中，我们有四种基本运算，即加法、减法、乘法和除法。而在布尔代数中，我们有三个基本运算，即 AND、OR、NOT。
• 在布尔代数中，我们只有两种值/最终结果，即真或假。但在算术代数中，答案可以是任何值，可以是正数、负数、零或我们可能想到的任何值。

布尔代数的假设/定律：

1. 交换律：

• A+B = B+A
• AB = 巴

例如：

0 + 1 = 1 and 1 + 0 = 1 (that is A+B = B+A)
0.1 = 0 and 1.0 = 0 (that is A.B = B.A)

2.结合律：

• (A+B)+C = A+(B+C)
• (AB).C = A.(BC)

例如：

(0 + 1)+1 = 0 + (1+1) =1 (that it (A+B)+C = A+(B+C)
Similarly you can try for (A.B).C = A.(B.C)

3、分配规律：

• A(B+C) = AB + AC
• A + BC = (A+B)。 (A+C)

A +BC = (A+B).(A+C) 的证明

让我们尝试简化表达式的 RHS：

(A+B).(A+C) = A.A + A.C + B.A + B.C 
We know that A.A = A  and B.A = A.B so the expression becomes:
A + AC + A.B + B.C

进一步简化 A.(1+C) + AB + BC ，现在 1+C = 1 也，A.1 = A，所以表达式变为：

A +  A.B + B.C 
A(1+B) + B.C = A.1 + B.C = A + BC (1+B = 1 and A.1 = 1 )
Hence LHS = RHS  

4. 幂等律：

• A+A=A
• AA = A

前面已经讨论过这些法律

5.吸收法：

• A + AB = A
• A.(A+B) = A

让我们简化两个表达式的 LHS 以获得 RHS：

A + A.B = A(1+B) = A.1 = A
A.(A+B) = A.A + A.B 
A + A.B = A(1+B) 
A.1 = A