证明阿姆斯特朗公理的正确性

先决条件——阿姆斯壮公理在 DBMS 中的函数依赖
阿姆斯特朗提到，规则 1 到 3 具有完整性和稳健性。阿姆斯壮公理是完备的，因为对于给定的函数依赖集 F，F ⁺隐含的所有函数依赖都可以使用这些规则从 F 导出。

我们需要证明的是——
可以从给定的函数依赖集(F_闭包)中用逻辑推导出的函数依赖集和可以从阿姆斯壮公理(F _armstrong )推导出来的函数依赖集是相同的。就集合而言，如果我们要表示相等，那么我们将其写为，一个是另一个的真子集。因此，我们需要证明，

Fclosure  is a proper subset of Farmstrong 

正确性意味着可以从 F 导出的任何内容也可以使用阿姆斯特朗公理导出。

_F闭包⁺表示F的闭包。数学上我们可以表示，F_闭包⁺ ={A| F_闭包⁺意味着可以使用阿姆斯壮公理从 F 导出 A，其中 A 属于实数。

索赔-1：
${\displaystyle X\to Y}$_{当且仅当 Y 是 F 闭包}^{+ 的真}子集时，可以使用阿姆斯壮公理从 F 推导出。

要证明“如果”部分：
设 Y={A ₀ , A ₁ , ……, A _m , } 其中 Y 是 F_闭包^{+ 的真}子集。 F_闭包⁺暗示 A _j可以使用阿姆斯特朗公理从 F 导出} 其中，A 属于 0如果我们遵循工会规则，那么${\displaystyle X\to Y}$可从 F 导出

要证明“仅当”部分：
${\displaystyle X\to Y}$可以使用阿姆斯特朗公理从 F 推导出来
通过投影规则我们知道 F_闭包⁺意味着 A _j其中，A 属于 0因此根据 F_闭包⁺的性质，A _j属于 F_闭包⁺ 。
这意味着 Y 是 F_闭包^{+ 的真}子集。

X 使用阿姆斯特朗公理从 F 确定 Y 。
我们将尝试证明上述陈述的逆反证。
我们将证明 X 确定 Y 不能使用阿姆斯特朗公理从 F 确定。就元组关系而言，我们可以说，存在一个属于实数的实例 r，使得 F 的所有函数依赖都对 r 成立。然而，X 暗示 Y 不成立。
这提到我们的假设是错误的，并且主张是正确的。
从而证明Claim 01是正确的。

让我们考虑 r 只有 2 行，并由 r{F_闭包⁺属性，其他属性}表示

索赔2：
F 的所有 FD 都由 r 满足。让我们再次否定它。设 W 意味着属于 F 的 R 不满足 r，则 W 是 F_闭包^{+ 的真}子集，Z 不是 F_闭包^{+ 的真}子集。
让 G 属于 Z- F_闭包⁺

我们得到：
${\displaystyle X\to W}$因为 W 是 F_闭包^{+ 的真}子集，
${\displaystyle X\to Z}$根据传递性规则，
${\displaystyle Z\to G}$根据自反性规则，因为 G 属于 Z 并且
${\displaystyle X\to G}$由传递性规则。

根据闭包的定义 G 必须属于 F_闭包⁺
我们得到了一个矛盾。
我们采用了一个被证明是错误的矛盾，这意味着该陈述是正确的。
从而证明Claim 02是正确的。

索赔-3：
X 暗示 Y 不满足 r。
我们再次假设矛盾(X 并不意味着 Y)。由于 r 的结构，Y 是 F_闭包^{+ 的真}子集，这意味着 X 蕴涵 Y 可以使用阿姆斯特朗公理来证明。
我们的假设被证明是错误的，因此该主张是正确的。
从而证明03号主张是正确的。

这意味着当 X 不隐含 Y 时，使用 Armsrong 公理，那么 F 在逻辑上并不意味着 X 隐含 Y。
我们也可以说，当 X 暗示 Y 时，使用 Armsrong 公理(机械地)，那么 F 在逻辑上暗示 X 也暗示 Y。
因此证明阿姆斯特朗公理是完备的。