特征向量和零空间之间的联系

先决条件：

• 特征向量
• 零空间

关于特征值和特征向量的一些要点：

• 即使对于实矩阵，特征值也可以是复数。
• 当特征值变复数时，特征向量也变复数。
• 如果矩阵是对称的(例如A = A ^T )，那么特征值总是实数。
• 因此，对称矩阵的特征向量也是实数。
• 对称矩阵总是有 n 个线性无关的特征向量。

现在，让我们讨论特征向量和零空间之间的联系。

从这篇文章中我们可以看出

AX = λX

现在让我问你一个问题。当 lambda 为 0 时会发生什么?即特征值之一变为 0。
因此，当特征值之一变为 0 时，我们就有了这个方程，它由下式给出

AX = 0 —(等式 1)

从这篇文章中我们可以看出

AB = 0 —(等式 2)

所以你注意到方程 1 和方程 2 的形式是相同的。

所以，这基本上意味着X是对应于特征值的特征向量， lambda 等于0 ，是一个零空间向量，因为它只是我们在这里注意到的形式。因此，我们可以说，对应于零特征值的特征向量在原始矩阵A的零空间中。相反，如果与特征向量对应的特征值不为0 ，则该特征向量不能在A的零空间中。所以，这些是我们需要知道的重要结果。
所以，这就是特征向量如何连接到零空间。

例子：
考虑以下A矩阵

请注意，这是一个对称矩阵，因此正如我之前在重点部分所说的那样，特征值始终是实数。
该矩阵的特征值是

λ = (0, 1, 2)

对应于这些特征值的特征向量是

代码：计算特征值和特征向量的Python代码

# Python program to illustrate
# connection between eigenvectors and nullspace
  
# Importing required libraries
import numpy as np
from numpy import linalg
  
# Taking A matrix
A = np.array([
    [0.36, 0.48, 0],
    [0.48, 0.64, 0],
    [0, 0, 2]
])
  
# Calculating eigenvalues and eigenvectors
eigValues, eigVectors = linalg.eig(A)
  
# Printing those values
print("Eigenvalue are :", eigValues)
print("Eigenvectors are :", eigVectors)
  
# Taking eigenvector 1
eigVector1 = np.array([
    [-0.8],
    [0.6],
    [0]
])
  
# Matrix multiplication between A and eigenvector1
result = np.dot(A, eigVector1)
# Print the result
print(result)
  
# This code is contributed by Amiya Rout

Output:
Eigenvalue are : [0. 1. 2.]
Eigenvectors are : 
[[-0.8 -0.6  0. ]
 [ 0.6 -0.8  0. ]
 [ 0.   0.   1. ]]
[[0.]
 [0.]
 [0.]]

所以我们从之前的讨论中注意到，如果X1是对应于 lambda 等于0的特征向量，那么这将在矩阵A的零空间中。让我们通过将A乘以X1 来验证它。我们检查

你可以很容易地看到，当你做这个计算时，你会得到这个(0, 0, 0) ，这基本上表明这是对应于零特征值的特征向量。