数学 |关系中矩阵和图的表示

之前，我们已经讨论了关系及其基本类型。
组合关系：
假设 R 是从集合 A 到 B 的关系，S 是从集合 B 到 C 的关系，这两种关系的组合是由有序对 (a,c) 组成的关系，其中 a Є A 和 c Є C 以及存在一个元素 b Є B，其中 (a,b) Є R 和 (b,c) Є S。这表示为 RoS。

逆关系：
关系 R 定义为 (a,b) Є R 从集合 A 到集合 B，然后逆关系定义为 (b,a) Є R 从集合 B 到集合 A。逆关系表示为 R ^-1

R ^-1 = {(b,a) | (a,b) Є R}。

互补关系：
设 R 是从集合 A 到 B 的关系，则互补关系定义为- {(a,b) } 其中 (a,b) 不是 Є R。

关系的表示：
关系可以表示为矩阵和有向图。

矩阵关系：
关系R定义为从集合A到集合B，那么关系的矩阵表示为M _R = [m _ij ] 其中

m _ij = { 1, 如果 (a,b) Є R

0, 如果 (a,b) Є R }

特性：

1. 如果矩阵对角元素为 1，则关系 R 是自反的。
   ${\displaystyle \begin{bmatrix} 1& & & \\ & 1& & \\ & & 1 & \\ & & & 1 \end{bmatrix}}$
2. 如果矩阵对角元素为 0，则关系 R 是非自反的。
3. 如果关系矩阵的转置等于其原始关系矩阵，则关系 R 是对称的。即 M _R = (M _R ) ^T 。
   ${\displaystyle \begin{bmatrix} ..& 1 & & \\ 1& ..&0 & \\ & 0& .. &1 \\ & & 0 & .. \end{bmatrix}}$
4. _{如果 m ij} = 0 或当 i≠j 时_{m ji} =0，则关系 R 是反对称的。
5. 关系遵循连接属性，即矩阵 M1 和 M2 的连接是 M1 V M2，根据关系表示为 R1 U R2。
6. 一个关系遵循满足属性 ir 矩阵 M1 和 M2 的相遇是 M1 ^ M2，根据关系表示为 R1 Λ R2。

作为有向图的关系：

有向图由通过有向边或弧连接的节点或顶点组成。令 R 是从集合 A 到集合 B 的关系，定义为 (a,b) Є R，然后在有向图中，它表示为 (a,b) 之间的边(从 a 到 b 的箭头)。

特性：

1. 如果有向图的每个节点都存在循环，则关系 R 是自反的。
2. 如果在有向图的任何节点上都没有循环，则关系 R 是非自反的。
3. 如果对于不同节点之间的每条边，一条边总是以相反的方向存在，则关系 R 是对称的。
4. 如果不同节点之间从不存在沿相反方向的两条边，则关系 R 是不对称的。
5. 如果从 a 到 b 和 b 到 c 有一条边，那么关系 R 是可传递的，那么总是有从 a 到 c 的边。

例子：

关系 R 的有向图 = {(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,c),(c,b),(c,a)}表示为：

因为，每个节点都有环，它是自反的，但它既不是对称的也不是反对称的，因为从 a 到 b 有一条边，但没有从 b 到 a 的相对边，而且在两个方向上都有从 b 到 c 的有向边。 R 不是可传递的，因为从 a 到 b 和 b 到 c 有一条边，但没有从 a 到 c 的边。

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