平面图：
如果图形可以在平面上绘制而无需交叉，则称它为平面图。
简单图形的着色是为图形的每个顶点分配颜色，以便没有两个相邻的顶点分配相同的颜色。
二分图：
二部图，也称为双图，是一组图顶点被分解为两个不同的集合，同一集合中没有相邻的图顶点。二分图是 k 分图，其中 k=2 作为特定实例。
色号 :
绘制图形 G 所需的最少颜色数称为 G 的色数 & 表示为 – μ (G)
邻近地区：
为地图区域分配颜色，使相邻区域具有不同的颜色。
如果存在使用“n”种颜色的 M 着色，则地图“M”是 n – 可着色的。
四色定理：
1852 年，英国著名数学家和逻辑学家奥古斯都·德摩根的学生弗朗西斯·格思里 (Francis Guthrie) 提出了四色问题。他根据满足特定要求的地图来定义问题，例如没有任何孔洞并将每个地区(例如国家或州)连接起来，以便在两个或多个不连续的部分中不存在任何地区。
格思里断言，对于这样的地图，地图着色所需的颜色不超过四种，这样相邻的两个部分就不会是相同的颜色。
如果地图 M 的区域被着色，使得相邻区域不同，则需要的颜色不超过 4 种。
每个平面图都是 4 色的(顶点着色)，但是当三角形是图或子图时，我们只需要 3 种颜色。
多年来，数学家一直试图按照六色定理或五色定理的方式提出一个复杂的证明(四色定理)，而使用蛮力方法几乎就像破解这个过程一样。
每个平面图都可以用四种不同的方式着色。
顶点和边可以在图中找到。我们希望相邻的顶点/区域具有不同的颜色。
怎么上色?
取任何地图并将其划分为一组连接区域：R 1 ,R 2 … R n具有连续边界。
必须有某种方法来分配集合 {R, G, B, Y} 中的每个区域 R i -> ，这样如果两个区域 R i和 R j “接触”(即它们之间共享一些非零长度的边界)他们)，他们必须接受不同的颜色。
例子 –
1..四色图如下图：
平面图
在这里，如您所见，与另一个区域接触的每个区域的颜色都与接触的区域不同，我们最多需要四种颜色来为这张地图着色——红色、绿色、蓝色和黄色。
2. 将未着色的 Map G 转换为着色的 Map 如下图所示——
地图G
在这里您可以看到，与另一个区域接触的每个区域的颜色都与接触的区域不同，我们最多需要四种颜色来为这张地图着色——红色、绿色、蓝色和黄色。
3.一个无色的Map H转化为一个有色的Map如下图——
地图H
在这里您还可以看到，与另一个区域接触的每个区域的颜色都与接触的区域不同，我们最多需要四种颜色来为这张地图着色——红色、绿色、蓝色和黄色。
库拉托夫斯基定理：
库拉托夫斯基在 1930 年建立了为平面性建立充分必要条件的定理。该定理指出——
"If G is non planar if and only if G contains a sub-graph that is a subdivision
of either K3,3 or K5."为了证明这个定理，我们将通过一些定义并确保 K3,3 和 K5 都是非平面的。让我们来看看 K 3,3 。
命题 1 – K 3,3不是平面的。
证明 ：
下面我们用反证法来证明。
相反，假设 K 3,3是平面的。然后有一个满足K 3,3 的平面嵌入：
然后，根据欧拉公式： v − e + f = 2 ，其中 v = 总顶点数，e = 边数，f = 总面数。
(a) K 3,3图 (b) K 5图
在图 (a) 中，二分图：v= 6 和 e= 9。
由于 K 3,3是二分的，因此其中没有 3 个循环(其中可以有奇数个循环)。
因此，嵌入的每个面必须由 K 3,3 中的至少 4 个边限定。
此外，每条边在人脸的边界中被计数两次。
因此，我们必须有： f ≤2 *e/4
⇒ f ≤ e/2
⇒ f ≤ 4.5。
现在将这些数据放入欧拉公式中：我们得到： 2 =v−e+f
⇒ 2 ≤ 6−9 + 4.5
⇒ 2 ≤ 1.5，这显然是错误的。
所以，我们可以说K 3,3是一个非平面图。
命题 2 – K5 不是平面的。
证明 ：
每个平面图必须遵循：e ≤ 3v − 6(欧拉公式的推论)
对于上图中的图 (b)，e = 10 且 v = 5。
LHS : e = 10
右轴：3*v – 6 = 15 – 6 = 9
⇒ 10 ≤ 9，这是不正确的。
所以，我们可以说K 5是一个非平面图。
例子 ：
1.证明：平面图的子图都是平面的。
证明 ：
设 G 为图，P 为其子图。
如果 G 是平面的，则存在 G 的平面嵌入。在 G 的平面嵌入中，我们可以定位 G 的每个子图 P 的顶点和边。
这就是 P 的平面嵌入是如何创建的。
2. 非平面图的细分都是非平面的。
证明 ：
假设对于 G，存在其细分 P 的平面嵌入。
当我们移除边缘细分中形成的顶点并重建原始边缘(不影响路径的形状和位置)时，我们获得 G 的平面嵌入并找到 G 平面。
因此，如果 G 是非平面的，则 G 的每个细分 (P) 也是非平面的。