考虑这两个陈述。
S1：存在随机变量 X 和 Y，使得
S2：对于所有随机变量 X 和
以下哪个选项是正确的?
(A) S1 和 S2 都为真
(B) S1 为真，但 S2 为假
(C) S1 为假，但 S2 为真
(D) S1 和 S2 都是假的答案： (D)
说明：定理：协方差的平方小于或等于方差的乘积。
设 X 和 Y 为随机变量。
让 X 和 Y 的方差存在并且是有限的。
然后：
(cov(X,Y)) 2 ≤ var(X)var(Y)
其中 cov(X,Y) 表示 X 和 Y 的协方差。
证明 ：
根据方差的定义，我们有：
E((X−E(X)) 2 )
和：
E((Y−E(Y)) 2 )
存在并且是有限的。
所以：
(cov(X,Y)) 2 = (E((X−E(X))(Y−E(Y)))) 2
协方差的定义
(cov(X,Y)) 2 ≤ E((X−E(X)) 2 )E((Y−E(Y)) 2 )
乘积的期望平方小于或等于平方的期望乘积
(cov(X,Y)) 2 = var(X)var(Y)
方差的定义。
因此，给定的陈述(S1)和(S2)都是错误的。
这个问题的测验