门 Gate IT 2008 问题20

这是一个关于数据结构和算法的问题，要求我们设计一个数据结构来解决问题。

问题描述

有一个列表，其中包含 $n$ 个元素，这些元素可以是任意的整数。现在我们要设计一个数据结构，使得能够高效地执行以下操作：

1. 将列表中某个元素增加 $k$。
2. 查询列表中某个范围内元素的和。

解决方案

我们可以使用线段树来解决这个问题。

线段树

线段树是一种二叉树，它将一个序列划分成多个区间，并对每个区间维护一个值，通常是区间和、区间最大值等。对于一个给定的序列，我们可以将它表示为一颗线段树。

线段树的每个节点都对应一个区间，每个节点会记录该区间对应的值。叶子节点对应原序列中的单个元素。由于线段树是一颗满二叉树，因此它的高度是 $O(\log n)$。

解决问题

对于这个问题，我们可以将原序列构建成一颗线段树。对于一次增加操作，我们可以通过遍历线段树，找到需要增加的叶子节点，然后依次向上更新父节点，最终更新整个线段树。这个操作的时间复杂度是 $O(\log n)$。

对于一次查询操作，我们可以通过遍历线段树的过程中，找到与查询范围有交集的区间，然后对它进行统计和计算。由于线段树的高度是 $O(\log n)$，因此这个操作的时间复杂度也是 $O(\log n)$。

代码片段

下面是构建线段树的 Python 代码片段：

class SegmentTree:
    def __init__(self, n):
        self.tree = [0] * (4 * n)
        
    def build(self, a, tree_index, left, right):
        if left == right:
            self.tree[tree_index] = a[left]
        else:
            mid = (left + right) // 2
            self.build(a, tree_index*2, left, mid)
            self.build(a, tree_index*2+1, mid+1, right)
            self.tree[tree_index] = self.tree[tree_index*2] + self.tree[tree_index*2+1]
            
    def update(self, tree_index, left, right, update_index, update_value):
        if left == right:
            self.tree[tree_index] += update_value
        else:
            mid = (left + right) // 2
            if update_index <= mid:
                self.update(tree_index*2, left, mid, update_index, update_value)
            else:
                self.update(tree_index*2+1, mid+1, right, update_index, update_value)
            self.tree[tree_index] = self.tree[tree_index*2] + self.tree[tree_index*2+1]
            
    def query(self, tree_index, left, right, query_left, query_right):
        if query_left > right or query_right < left:
            return 0
        if query_left <= left and query_right >= right:
            return self.tree[tree_index]
        mid = (left + right) // 2
        return self.query(tree_index*2, left, mid, query_left, query_right) + \
               self.query(tree_index*2+1, mid+1, right, query_left, query_right)

这个类包含了三个方法：build、update、query。其中 build 方法用于构建线段树，update 方法用于对某个节点进行更新，query 方法用于查询某个范围内节点的和。