如何确定矩阵的特征值？

特征值被定义为与向量空间的给定线性变换相关联的标量，并且具有一些非零向量的性质，当乘以该标量时，该向量等于通过让变换对向量进行操作而获得的向量。线性方程矩阵系统的根也称为特征值。考虑一个kxk的方阵A，v是向量，λ是标量可以表示为，

Av = λv

Av – λv = 0 ⇢ [λ – Eigen value]

A – λI  = 0 ⇢ [I – Identity matrix]

|A – λI| = 0

特征值的性质

考虑一个具有特征值 λ ₁ , λ ₂ ... λ _n的方阵 A

• A 的确定是其所有特征值的乘积。 [det(A) = λ ₁ × λ ₂ ….λ _n ]
• 当且仅当每个特征值都不为零时，矩阵 A 是可逆的。
• 实对称矩阵和 Hermitian 矩阵的特征值相等。
• 实斜对称和斜厄密矩阵的特征值要么是纯的，要么是零。
• 酉矩阵和正交矩阵的特征值是单位模|λ| = 1。
• A ^-1的特征值 = 1/λ ₁ ,1/λ ₂ ,… 1/λ _n。
• A ^k的特征值 = λ ^k ₁ , λ ^k ₂ , ...。 λ ^k _n
• 如果 A 和 B 是两个相同阶的矩阵，则 AB 的特征值 = BA 的特征值。
• 如果方阵 A 是下/上三角矩阵，则其特征值将是矩阵的对角线元素。

求矩阵值的步骤

以下是为了找到矩阵的值要遵循的步骤，

Step 1: Check whether the given matrix is a square matrix or not. If “yes” then, follow step 2.

Step 2: Determine identity matrix(I)

Step 3: Estimate the matrix A – λI.

Step 4: Find the determinant of A – λI.

Step 5: Equate the determinant of A-λI to zero. {|A – λI| = 0}

Step 6: Calculate all the possible values of λ.

示例问题

问题一：求矩阵的特征值$A= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \\ \end{bmatrix}$ .

解决方案：

$A-\lambda I= \begin{bmatrix} 1-\lambda & 4 \\ 3 & 2-\lambda \\ \end{bmatrix}$

|A – λI|= 0

(1 – λ)(2 – λ) – 12 = 0

2 – λ – 2λ + λ² – 12 = 0

λ² – 3λ – 10 = 0

λ² – 5λ + 2λ – 10 = 0

(λ + 2)(λ – 5) = 0

λ = -2, 5

Therefore, eigen value will be (-2, 5)

问题2：求矩阵的特征值$A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

解决方案：

$A-\lambda I= \begin{bmatrix} 1-\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 0-\lambda \\ \end{bmatrix}$

|A – λI| = 0

(1 – λ)[(1 – λ)(0 – λ) – 2] = 0

(1 – λ)(λ² – λ – 2) = 0

-λ³ + 2λ + λ – 2 = 0

λ = 1, 0

Therefore, the eigen value will be 1, 0.

问题3：求矩阵的特征值$A= \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 4 \\ \end{bmatrix}$

解决方案：

$A-\lambda I = \begin{bmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 1 & 4-\lambda \\ \end{bmatrix}$

[(4 – λ)(4 – λ)] – 1 = 0

16 – 4λ – 4λ + λ² – 1 = 0

λ² – 8λ + 15 = 0

λ² – 3λ – 5λ + 15 = 0

λ(λ – 3) – 5(λ – 3) = 0

(λ – 5)(λ – 3) = 0

λ = 5, 3

Therefore, the eigenvalue will be 5, 3

问题4：求给定矩阵的特征值$A= \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 3 & 8 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

解决方案：

As mentioned above in the properties of eigen value i.e If a square matrix A is lower/upper triangular matrix, then its eigenvalue will be the diagonal elements of the matrix.

As the given matrix A is a lower triangular matrix so, its eigenvalue will be 1, 3, 2.

问题5：求矩阵的特征值$A= \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 5 & -1 \\ \end{bmatrix}$

解决方案：

$A-\lambda I= \begin{bmatrix} 2-\lambda & 2 \\ 5 & -1-\lambda\\ \end{bmatrix}$

[(2 – λ)(-1 – λ)] – 10 = 0

-2 – 2λ + λ + λ² – 10 = 0

λ² – λ – 12 = 0

λ² – 4λ + 3λ – 12 = 0

λ(λ – 4) + 3(λ – 4) = 0

(λ – 4)(λ + 3) = 0

λ = 4, -3

Therefore, the eigenvalue will be 4, -3

问题6：求矩阵的特征值$A= \begin{bmatrix} -1& 8 \\ 0 & -1\\ \end{bmatrix}$

解决方案：

$A-\lambda I= \begin{bmatrix} 2-\lambda & 2 \\ 5 & -1-\lambda\\ \end{bmatrix}$

|A – λI| = 0

(-1 – λ)² – 0 = 0

(λ + 1)² = 0

λ = -1

Therefore, the eigenvalue will be -1