如何使用 NumPy 计算给定方阵的特征值和右特征向量？

NumPy 是 Python 中常用的科学计算库，它提供了许多实用的函数和工具，能够方便地进行矩阵计算和线性代数运算。在计算机科学中，特征值和特征向量是矩阵的重要特性，对于许多应用都有重要的意义。本文将介绍如何使用 NumPy 计算给定方阵的特征值和右特征向量。

特征值和右特征向量的定义

在矩阵代数中，特征值和特征向量是指当一个方阵作用于一个向量时，使得结果向量与原向量在同一直线上的非零向量和对应的标量值。设 $A$ 是一个 $n\times n$ 的实方阵，$\lambda\in\mathbb{R}$，$v\in\mathbb{R}^n$，则当$Av=\lambda v$时，称 $\lambda$ 是 $A$ 的一个 特征值，$v$ 是 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的一个 特征向量。

右特征向量是指满足 $Av=\lambda v$ 的非零向量 $v$；左特征向量是指满足 $v^T A = \lambda v^T$ 的非零向量 $v^T$。两个向量的转置分别为右特征向量和左特征向量，两个向量线性无关时称为对角化。

使用 NumPy 计算特征值和右特征向量

NumPy 中提供了 linalg.eig() 函数，用于计算矩阵的特征值和特征向量。该函数的输入为一个方阵，输出为一个包括特征值和右特征向量的元组。使用该函数可以方便地求出一个方阵的特征值和右特征向量。

下面是一个使用 NumPy 计算特征值和右特征向量的示例代码片段：

import numpy as np

# 定义一个 3x3 的方阵
A = np.array([[1, 2, 3],
              [4, 5, 6],
              [7, 8, 9]])

# 使用 numpy.linalg.eig() 函数计算特征值和右特征向量
eigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)

# 输出特征值和右特征向量
print("特征值：", eigvals)
print("右特征向量：", eigvecs)

运行上述代码，将输出矩阵 A 的特征值和右特征向量。

需要注意的是，输出的特征向量是按列排列的，也就是说，在输出结果中，每一列对应于一个特征向量。

特征值： [ 1.61168440e+01 -1.11684397e+00 -1.30367773e-15]
右特征向量： [[-0.23197069 -0.78583024  0.40824829]
 [-0.52532209 -0.08675134 -0.81649658]
 [-0.8186735   0.61232757  0.40824829]]

从上面的结果中可以看出，矩阵 A 的三个特征值分别为 16.116844，-1.1168439 和 $-1.30367773\times10^{-15}$。其中，第一个特征向量对应的特征值是 16.116844；第二个特征向量对应的特征值是 -1.1168439；第三个特征向量对应的特征向量是一个很小的值，可以近似视为 0。

右特征向量是一个 $3\times3$ 的矩阵，其中每一列是一个特征向量，分别对应于上述的三个特征值。我们可以使用这些特征向量来对矩阵 A 进行正交对角化，从而得到对角矩阵。