测量 3D

测量 3D 处理立方体、长方体、球体等形状。问题通常基于体积和表面积。

长方体

设长方体的长、宽和高分别为“L”、“B”和“H”。

• 体积 = L x B x H
• 曲面面积 = 2 H (L + B)
• 总表面积 = 2 (LB + BH + HL)
• 对角线长度 = (L ² + B ² + H ² ) ^1/2

立方体

让立方体的边是’a’

• 体积 = ³
• 曲面面积 = 4 a ²
• 总表面积 = 6 a ²
• 对角线长度 = $\sqrt{3}$一种

气缸（右圆形气缸）

设右圆柱的底半径和高分别为“R”和“H”。

• 体积 = π R ² H
• 曲面面积 = 2 π RH
• 总表面积 = 2 π RH + 2 π R ²

空心圆柱（空心右圆圆柱）

设底的内半径、底的外半径和空心直圆柱体的高度分别为’r’、’R’和’H’。

• 体积 = π H (R ² – r ² )
• 曲面面积 = 2 π RH + 2 π r H = 2 π H (R + r)
• 总表面积 = 2 π H (R + r) + 2 π (R ² – r ² )

锥体

设圆锥的底面半径、斜高和高度分别为“R”、“L”和“H”。

• L ² = R ² + H ²
• 体积 = π R ² H / 3
• 曲面面积 = π RL
• 总表面积 = π RL + π R ²

领域

让球体的半径为’R’

• 体积 = (4 / 3) π R ³
• 表面积 = 4 π R ²

半球

设半球的半径为“R”

• 体积 = (2 / 3) π R ³
• 曲面面积 = 2 π R ²
• 总表面积 = 3 π R ²

请注意，每当提到找到“表面积”时，我们都会计算总表面积。

示例问题

问题 1：求在尺寸为 10 x 15 x 6 m 的长方体房间中可以容纳的最大杆的长度。
解决方案：最大的杆将位于对角线上。
=> 最大杆的长度 = 房间对角线的长度 = (L ² + B ² + H ² ) ^1/2
=> 最大杆的长度 = (10 ² + 15 ² + 6 ² ) ^1/2 = (100 + 225 + 36) ^1/2 = (361) ^1/2
=> 最大杆的长度 = 19 m问题 2：求出制作 24 m 长、8 m 高和 60 cm 厚的墙所需的尺寸为 24 x 12 x 8 cm 的砖块的数量。
解： 1 块砖的体积 = 24 x 12 x 8 = 2304 cm ³
墙体体积 = 2400 x 800 x 60 = 115200000 cm ³
因此，需要的砖块数 = 115200000 / 2304 = 50000问题 3：将一张 22 厘米 x 7 厘米的矩形纸沿长边卷成圆柱体。求形成的圆柱体的体积。
解：设圆柱的半径为“R”。
片材沿较长的一侧卷起。
=> 2 π R = 22
=> R = 3.5 厘米
此外，高度 = 7 厘米
因此，圆柱体的体积 = π R ² H = π (3.5) ² 7 = 269.5 cm ³问题 4：如果立方体的每条边增加 10%，体积增加的百分比是多少？
解决方案：让原始边长为’a’
=> 原始音量 = a ³
现在，新边长 = 1.1 a
=> 新卷 = (1.1 a) ³ = 1.331 a ³
=> 成交量增加 = 1.331 a ³ – 1 a ³ = 0.331 a ³
因此，百分比增加 int eh volume = (0.331 a ³ / a ³ ) x 100 = 33.1 %问题 5：将边长为 3 厘米、4 厘米、5 厘米的三个金属立方体熔化成一个立方体。求这种立方体的边长。
解：新立方体的体积 = 熔化立方体时产生的金属体积 = 三个立方体的体积之和
=> 新立方体的体积 = 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 216
=> 新立方体的边长 = (216) ^1/3 = 6 cm问题 6：求出制作半径 7 m、高 24 m 的圆锥形机器所需的 1.25 m 宽金属板的长度。
解决方案：将片材成型为锥形。
=> 板材面积 = 锥形机面积
=> 1.25 x 长度 = π x R x L
=> 1.25 x 长度 = π x R x (7 ² + 24 ² ) ^1/2
=> 1.25 x 长度 = π x 7 x 25
=> 长度 = 440 m
因此，需要 440 m 长的金属板来制造锥形机器。问题 7：从底面半径为 7 厘米、高为 6 厘米的圆柱形容器中，将水倒入半径为 3.5 厘米的半球形小碗中。确定清空圆柱形容器所需的最小碗数。
解：圆柱容器的体积 = π R ² H = π (7 ² ) 6 = 924 cm ³
每个碗的体积 = (2 / 3) π R ³ = (2 / 3) π 3.5 ³ = 269.5 / 3
=> 所需碗数 = (924) / (269.5 / 3) = 10.28
但由于碗的数量不能为分数，我们至少需要 11 个这样的碗来清空圆柱形容器。

测量 3D 的问题 |组 2

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