将中缀表示法转换为表达式树的程序

本文将介绍如何将中缀表示法转换为表达式树的程序。表达式树是计算机中用于表示表达式的一种数据结构，它可以方便地进行表达式的求值和计算。而中缀表示法则是我们通常使用的表达式表示方法，比如"3 + 4 * 5"。

算法思路

将中缀表示法转换为表达式树的算法主要分为以下几个步骤：

1. 将中缀表示法转换为后缀表示法。
2. 使用栈来构建表达式树。

将中缀表示法转换为后缀表示法

将中缀表示法转换为后缀表示法的算法通常使用栈来实现。我们从左至右扫描中缀表示法，每次遇到一个操作数，就直接将它加入后缀表达式中；每次遇到一个运算符，就将它压入栈中。但在压入运算符之前，要先做几个判断：

1. 如果遇到的运算符优先级比栈顶运算符的优先级低，那就先将栈顶运算符弹出到后缀表达式中，直到栈顶运算符优先级不高于此时遇到的运算符。
2. 如果遇到了左括号，则直接将其压入栈中。
3. 如果遇到了右括号，则不断将栈顶运算符弹出到后缀表达式中，直到遇到左括号为止，并将左右括号都丢弃。

最终，将栈中剩余的运算符全部弹出到后缀表达式中即可。

例如，将中缀表示法"3 + 4 * 5"转换为后缀表示法的过程如下：

1. 遇到"3"，直接加入后缀表达式，得到"3"。
2. 遇到"+"，将其压入栈中。
3. 遇到"4"，直接加入后缀表达式，得到"3 4"。
4. 遇到"*"，将其压入栈中。
5. 遇到"5"，直接加入后缀表达式，得到"3 4 5 *"。
6. 中缀表示法扫描完毕，将栈中所有剩余运算符弹出到后缀表示法中，得到"3 4 5 * +"。

使用栈来构建表达式树

将后缀表示法转换为表达式树的算法同样使用栈来实现。我们从左至右扫描后缀表示法，每次遇到一个操作数，就将它转换为一个叶子节点，并将其压入栈中；每次遇到一个运算符，就弹出栈顶的两个子树作为运算符的左右子树，并将它们作为新的子树，再将此子树压入栈中。

例如，将后缀表示法"3 4 5 * +"转换为表达式树的过程如下：

1. 遇到"3"，将其转换为一个叶子节点并压入栈中。
2. 遇到"4"，同上。
3. 遇到"5"，同上。
4. 遇到"*"，弹出栈顶的两个子树"4"和"5"作为运算符的左右子树，构建新的子树"4 * 5"，并将此子树压入栈中。
5. 遇到"+"，弹出栈顶的两个子树"3"和"4 * 5"作为运算符的左右子树，构建新的子树"3 + 4 * 5"，并将此子树压入栈中。
6. 后缀表示法扫描完毕，最后栈里只剩下一个子树，即为所求表达式树。

代码实现

下面是使用Python实现将中缀表示法转换为表达式树的代码。其中，函数infix_to_postfix实现将中缀表示法转换为后缀表示法，函数postfix_to_expression_tree实现将后缀表示法转换为表达式树。

class ExpressionTree:
    def __init__(self, value):
        self.value = value
        self.left = None
        self.right = None

def infix_to_postfix(infix: str) -> str:
    operators = {'+': 1, '-': 1, '*': 2, '/': 2, '^': 3}
    stack = []
    postfix = ""
    for c in infix:
        if c.isdigit():
            postfix += c
        elif c == '(':
            stack.append(c)
        elif c == ')':
            while stack and stack[-1] != '(':
                postfix += stack.pop()
            stack.pop()
        elif c in operators:
            while stack and stack[-1] != '(' and operators[c] <= operators.get(stack[-1], 0):
                postfix += stack.pop()
            stack.append(c)
    while stack:
        postfix += stack.pop()
    return postfix

def postfix_to_expression_tree(postfix: str) -> ExpressionTree:
    stack = []
    for c in postfix:
        if c.isdigit():
            stack.append(ExpressionTree(c))
        elif c in {'+', '-', '*', '/'}:
            right = stack.pop()
            left = stack.pop()
            node = ExpressionTree(c)
            node.left = left
            node.right = right
            stack.append(node)
    return stack.pop()

总结

本文介绍了如何将中缀表示法转换为表达式树的程序。通过使用栈来实现中缀表示法到后缀表示法和后缀表示法到表达式树的转换，我们可以方便地进行表达式求值和计算，同时也学习了如何使用栈来解决实际问题。