门 | GATE CS 2020 | 问题23

这道题涉及到有向图的遍历和检测以及拓扑排序。题目如下：

给定一个有向图 $G = (V,E)$，其中 $V$ 为节点集合，$E$ 为边集合。我们需要检查该有向图是否是 DAG（有向无环图），并提供其中一个拓扑排序（如果有多个则任选一个）。

解题思路

判断一个有向图是否是 DAG 可以通过拓扑排序来实现。拓扑排序的算法有多种，这里介绍一种基于 BFS 的算法。

具体来说，我们需要维护一个队列 $Q$ 和一个字典 $indegree$，其中 $Q$ 用来记录所有入度为 0 的节点，$indegree[v]$ 记录节点 $v$ 的入度。开始时，我们先遍历一次图，记录所有节点的入度。然后将所有入度为 0 的节点放入队列 $Q$ 中。

接下来，我们从 $Q$ 中取出一个节点 $v$，并将所有 $v$ 的出边 $(v, w)$ 对应的节点 $w$ 的入度减 1。如果 $w$ 的入度为 0，则将其加入队列 $Q$。这样一直重复操作直到队列为空。如果最终遍历了所有的节点，则该图是 DAG，并且 $Q$ 中的节点就是其中一个拓扑排序。

代码实现如下：

from collections import defaultdict, deque

def is_dag(adj_list):
    indegree = defaultdict(int)
    for u in adj_list:
        for v in adj_list[u]:
            indegree[v] += 1
    Q = deque([u for u in adj_list if indegree[u] == 0])
    visited = set()
    while Q:
        u = Q.popleft()
        visited.add(u)
        for v in adj_list[u]:
            indegree[v] -= 1
            if indegree[v] == 0:
                Q.append(v)
    return len(visited) == len(adj_list)

def topological_sort(adj_list):
    indegree = defaultdict(int)
    for u in adj_list:
        for v in adj_list[u]:
            indegree[v] += 1
    Q = deque([u for u in adj_list if indegree[u] == 0])
    order = []
    while Q:
        u = Q.popleft()
        order.append(u)
        for v in adj_list[u]:
            indegree[v] -= 1
            if indegree[v] == 0:
                Q.append(v)
    if len(order) == len(adj_list):
        return order
    else:
        return None

其中 adj_list 是一个字典，它的键是节点，值是节点的邻居列表。例如，一个有向图

0 -> 1 -> 2
^    |
|    v
4 <- 3

可以表示为 adj_list = {0: [1], 1: [2], 2: [], 3: [1, 2], 4: [0, 3]}。

我们可以先调用 is_dag(adj_list) 函数检查该有向图是否是 DAG。如果是 DAG，则调用 topological_sort(adj_list) 函数得到其中一个拓扑排序。如果不是 DAG，则返回 None。

总结

本题考查了有向图的遍历和检测以及拓扑排序的算法。具体来说，我们需要维护一个队列和一个字典，通过 BFS 的方式依次将入度为 0 的节点加入队列中，并将该节点的出边对应的节点的入度减 1。如果最终遍历的节点数等于总节点数，则该有向图是 DAG，同时队列中的节点就是其中一个拓扑排序。