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📜  一些执行简谐运动的系统

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:57:38.129000             🧑  作者: Mango

一些执行简谐运动的系统

简谐运动是一种周期性运动，它在一定时间段后自我重复。它在现实生活中几乎随处可见，例如，与弹簧相连的物体正在做简谐运动。这些系统是我们生活的重要组成部分，必须了解和研究它们才能模拟它们的行为。 SHM 的方程帮助我们从 SHM 中推断出有关对象的信息并预测其行为。让我们详细了解如何从 SHM 中提取此信息。

周期性和振荡运动

考虑一个昆虫试图爬上墙壁的例子，这种昆虫爬到一个高度，然后又掉下来。请注意，这种昆虫的运动会在一段时间后重复。这种运动称为周期运动。周期性运动在一定的时间间隔后重复。在图中，显示了一些表示周期性运动的图形。该图有一个重复的模式，这意味着对象的 y 位置周期性地增加然后减少。

周期性运动和振荡运动可能看起来相同，但它们有细微的差别。每个振荡运动都是周期性运动，但反之则不然。周期性运动只是在一定的时间间隔后重复自己，但振荡运动围绕平均位置来回移动。简谐运动是最简单的振荡运动类型。

简谐运动

简谐运动是一种周期性运动，物体围绕其平均位置来回移动。当作用在身体上的力与身体从其平均位置的位移成正比时，就会出现这种运动。在这种情况下，时间段保持不变。时间段用“T”表示，平均位置到极限位置的距离称为幅度，用A表示。摆动摆是简单谐波运动的一个例子。

SHM 的一般方程由下式给出，

x(t) = Asin(ωt + φ)

这里，A 代表幅度，ω 代表 SHM 的角频率。

弹簧块系统和钟摆系统是我们在现实生活中执行简单谐波运动的两个系统示例。在无摩擦和空气阻力的理想条件下，这些系统能够执行完美的 SHM。让我们一一详细了解这两个系统。

弹簧座系统

下图显示了一个弹簧质量系统。弹簧质量系统由质量可忽略不计的弹簧组成。弹簧的一端连接在刚性支架上，另一端承载一块质量为 M 的块，该块位于无摩擦的平面上。对于弹簧中长度为“x”的变形，弹簧中产生的恢复力由下式给出，

F = -kx

这里，k 是弹簧常数，负号表示恢复力的方向，它总是与系统中引起的变形相反。

这种关系可以结合牛顿定律，

F = ma = -kx

⇒ 一 = \frac{-k}{m} X

将此方程与 SHM 中的加速度方程进行比较，a = -ω 2 x，

在这种情况下，

ω = \sqrt{\frac{k}{m}}

⇒ \frac{2\pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}

⇒ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

摆

当作用在身体上的力与身体从其平均位置的位移成正比时，就会出现这种运动。在这种情况下，时间段保持不变。时间段用“T”表示，平均位置到极限位置的距离称为幅度，用A表示。摆动摆是简单谐波运动的一个例子。

物体在任何特定时间的位移 (x) 的一般方程由下式给出，

x = 正弦 (ωt + φ)

这里，ω = \frac{2 \pi}{T} φ 表示相移。

类似地，SHM 中物体的速度方程可以通过对这个方程求微分得到。

v = Aω cos(ωt + φ)

然后，加速度方程变为，

a = -Aω 2 sin(ωt + φ)

请注意，在上图中，SHM 中的所有三个值位移、速度和加速度都与 SHM 具有相同的时间段，但它们之间的相位为 90°。

示例问题

问题 1：SHM 的方程如下所示

x(t) = 10cos(t)

计算最大加速度和速度。

回答：

问题 2：SHM 的方程如下所示。

x(t) = 20sin(2t)

计算最大加速度和速度。

回答：

问题 3：找出弹簧块系统执行 SHM 的时间段。块的质量为 25Kg，k = 100N/m。

回答：

问题 4：找出弹簧块系统执行 SHM 的时间段。块的质量为 100Kg，k = 900N/m。

回答：

问题 5：由钟摆执行的 SHM 方程如下所示。

x(t) = 10sin(t + 5)

计算 t = 的时间和速度\frac{\pi}{2} 

回答：