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📜  简谐运动中的位移

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:57:38.761000             🧑  作者: Mango

简谐运动中的位移

振荡运动在物理学世界中发挥着重要作用。如果振荡体的位移可以表示为角度随时间变化的正弦或余弦函数，则振荡运动称为谐波运动。在谐波振荡中，平均位置两侧的振荡极限可能相同，也可能不同。简谐运动是一种特殊的简谐运动，其中平均位置两侧的振动极限相同。

与简谐运动相关的术语：

1. 位移 (x)：执行简单谐波运动的物体的位移定义为物体从其平均或平衡位置行进的净距离。

x = A cos(ωt)

考虑以圆形路径旋转的物体的直径投影。 A 是幅度，即距平均位置的最大位移，ω 是物体在圆形路径中旋转的角速度，t 是时间。它的SI单位是米（m）。

2.振幅（A）：物体从平均或平衡位置进行简谐运动的最大位移称为振幅。

3.速度（v）：任何时刻的速度定义为位移随时间的变化率。

v = dx/dt

对于执行 SHM 的物体，它的速度在平衡位置最大，在位移值最大的极端位置，即 x = A 处，其速度最小（零）。它是一个向量，因此重要的是要提及它的值和方向以获得完整的解释。物体的速度与作用在物体上的力、距平均位置的位移和物体的加速度成反比。它的 SI 单位是 m/s。

4. 加速度（a）：加速度定义为速度随时间的变化率。加速度与位移和力成正比。它在位移最大 (x = A) 的极端位置处最大，在平均位置 (x = 0) 处最小。加速度的 SI 单位是 m/s 2 。

5. 恢复力 (F R )：恢复力是始终作用于与平均位置的位移方向相反但与其成正比的力。恢复力在极端位置最大，在平均位置最小。

F R = -kx

其中 k 是弹簧常数，x 是距平均位置的位移。力的国际单位制单位是 N 或 Kg m/s 2 。

6、弹簧常数（k）：弹簧常数或力常数是弹簧的确定性常数，它决定了弹簧的刚度。这是将弹簧拉伸或压缩单位长度所做的功。如果弹簧的弹簧常数为 100 N/m，则意味着需要 100 N 的力才能将弹簧拉伸或压缩 1 m。弹簧常数的 SI 单位是 N/m。

7、能量（E）：物体在SHM下的总能量称为机械能，如果介质是无摩擦的，物体的机械能在整个运动过程中保持不变。物体在任何时刻的机械能是其动能和势能的总和。物体的动能是由于它的速度，由下式给出，

K = (1/2) × m × v 2

其中 m 是物体的质量，v 是速度。

然而，一个物体的势能是由它的位置决定的，并且由下式给出，

U = (1/2) × k × x 2

其中 k 是弹簧常数，x 是距平均位置的位移。因此，能量的 SI 单位是 kg m 2 /s 2或焦耳。

8. 时间周期（T）：振荡时间周期定义为身体完成一次完整振荡所用的时间。

换句话说，就是覆盖4倍幅度所用的时间。 Time Period 的 SI 单位是秒 (s)。

在简单摆的情况下，时间周期的公式由下式给出，

T = 2π × √(l / g)

其中 T 是振荡的时间周期，l 是字符串或线的长度，g 是重力加速度。

9. 频率（f）：频率定义为身体在一秒钟内产生的振动总数。如果身体的频率为 10 Hz，则意味着身体在 1 秒内完成了 10 次完整的振动。在数学上，它被定义为时间段的倒数，即

f = (1/T)

因此，频率的 SI 单位是 Hz 或 s -1

什么是简单谐波运动 (SHM)？

如果物体在任何时刻的速度与距平均位置的位移成反比，则称物体的运动为简谐运动。或者换句话说，如果在任何时刻作用在物体上的恢复力或物体的加速度与从平均位置的位移成正比并且作用在与位移。

简谐运动

SHM中位移方程的推导

物体做匀速圆周运动的运动称为匀速圆周运动。如果我们考虑身体的侧向运动，它看起来好像身体在沿直线路径（沿直径）移动。物体沿直径的这种往复运动称为简谐运动。

物体匀速圆周运动

考虑到上图，身体沿直径 (QR) 的运动是 SHM。 'O' 是圆的中心，又是系统在 SHM 中的平衡位置。 x 是距平均位置的位移。 'θ' 是角位移。

因为，cos (θ) = (Base / Hypotenuse)

这意味着，

cos (θ) = x / AO

其中 AO 是半径，等于距平均位置的最大位移，即幅度 （一种）。

所以，

cos (θ) = x / A

x = A cos (θ) ……(1)

这是从平均位置的位移方程。

但是因为，角位移是角速度和粒子所用时间的乘积。

所以，

θ = ω t

其中 ω 是角速度，t 是粒子所花费的时间。

现在，等式（1）可以写成：

x = A cos (ω t) ……(2)

此外， ω = 2πf ，其中 f 是粒子的频率。

因此，

x = A cos (2πf t) ……(3)

这是SHM下物体的位移方程。 SHM 下物体的最大位移称为振幅，用“A”表示。借助上面的方程（运动方程或位移方程），我们也可以找到速度和加速度的方程。

示例问题

问题1：考虑一个执行简谐运动的物体，找到时间周期的位移方程。

解决方案：

问题 2：推导执行简单谐波运动的物体的瞬时速度方程。

解决方案：

问题 3：计算当物体的动能是其势能的两倍时位移与振幅的比值。

解决方案：

问题 4：在 SHM 下作用在物体上的力为 200 N。如果弹簧常数为 50 N/m。从平均位置找到位移。

解决方案：

问题 5：推导出执行 SHM 的物体完成的功或势能的表达式。

解决方案：