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📜  简谐运动中的能量

📅  最后修改于: 2022-05-13 01:57:37.569000             🧑  作者: Mango

简谐运动中的能量

每一个物体都拥有能量。在简谐运动中，物体达到极限并获得势能。当物体回到平均位置时，它的速度达到最大值。因此，在这种情况下，势能转化为动能，反之亦然。在理想的简谐运动中，能量是守恒的。尽管它可能会改变形式，但总能量保持不变。研究能量和总能量的这些变化以分析 SHM 及其特性至关重要。让我们详细看看。

简谐运动

简谐运动是一种周期性运动，物体围绕其平均位置来回移动。在这种情况下，时间段保持不变。时间段用“T”表示，平均位置到极端位置的距离称为幅度，用 A 表示。物体在任何特定时间的位置 (x) 的一般方程为：

x = A sin(\omega t + \phi)

这里， \omega = \frac{2 \pi}{T} 和\phi表示相移。

类似地，SHM 中物体的速度方程可以通过对这个方程求微分得到。

v = A\omega cos(\omega t + \phi)

然后，加速度方程变为，

a = -A\omega^2 sin(\omega t + \phi)

简谐运动中的能量

SHM 中的动能和势能从零变化到最大值。上面提到的方程表明物体的速度遵循正弦轨迹，这意味着物体的速度增加和减少。速度在极端位置为零，在平均位置最大。速度最大的位置是物体的动能也最大的位置。

对于质量为“m”、速度为“v”的物体。动能由下式给出，

克= \frac{1}{2}mv^2

由于物体在 SHM 中，速度的值可以代入方程，

克= \frac{1}{2}m(A\omega cos(\omega t))^2

⇒ KE = \frac{1}{2}mA^2\omega^2cos^2(\omega t)

⇒ KE = \frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t)

请注意，KE 也是周期方程的形式。

KE的最大值= \frac{1}{2}mA^2\omega^2 （在平均位置）

KE的最小值= 0（在极端位置）

在保守力的情况下，它与位移成正比。势能由下式给出，

U = \frac{1}{2}kx^2

代入 SHM 中 x(t) 的值，

U = \frac{1}{2}kx^2

⇒ U(t) = \frac{1}{2}k(Asin(\omega t))^2

⇒ U(t) = \frac{1}{2}kA^2sin^2(\omega t)

让我们找到总能量，

E = U + K

⇒ E = \frac{1}{2}kA^2sin^2(\omega t) + \frac{1}{2}kA^2cos^2(\omega t + \phi)

⇒ E = \frac{1}{2}kA^2[sin^2(\omega t) + cos^2(\omega t)]

⇒ E = \frac{1}{2}kA^2

上图显示了 SHM 的 KE 和 PE 以及总能量 E 的曲线图。在这种情况下，请注意系统的总能量保持不变且与时间无关。

示例问题

问题 1：一个质量为 10Kg 的粒子正在执行 SHM，其位置由下面给出的等式给出，

x(t) = 3sin(5t)

求它在平均位置的动能。

回答：

问题 2：质量为 2Kg 的粒子正在执行 SHM，其位置由下面给出的等式给出，

x(t) = cos(2t)

求它在平均位置的动能。

回答：

问题 3：质量为 2Kg 的粒子正在执行连接到弹簧 (k = 100 N/m) 的 SHM，其位置由下面给出的等式给出，

x(t) = 20cos(t)

在极端位置找到它的势能。

回答：

问题 4：质量为 1Kg 的粒子正在执行连接到弹簧 (k = 10 N/m) 的 SHM，其位置由以下公式给出，

x(t) = 2cos(t)

在极端位置找到它的势能。

回答：

问题 5：一个粒子正在执行 SHM，其位置由下面给出的等式给出，

x(t) = 2sin(10t)

求它在平均位置的速度。

回答：

问题 6：一个粒子正在执行 SHM，其位置由下面给出的等式给出，

x(t) = 10cos(10t + 5)

求它在平均位置的速度。

回答：