算法测验：须藤放置[1.7] | 问题1

本次算法测验是关于AC竞赛中的题目：须藤放置[1.7]的第一道问题。

题目描述

给定平面上的N个点，您需要找到一个点P使得P到所有给定点的距离之和最小。其中，点的个数N不超过1000，点的坐标范围不超过10000。

算法思路

这是一道比较经典的数学题目，考察的是对于数学模型的建立与求解能力。

我们可以根据距离之和的性质，将其转换为一些数学公式，具体来说就是凸函数和Lipschitz连续函数。通过最小化这些函数，我们就能得到最优解。

其中，我们可以通过解析法求取凸函数最小值，通过梯度下降和牛顿法来求Lipschitz连续函数最小值。这里我以解析法为例，给出具体算法思路。

具体步骤如下：

1. 求出所有点的横坐标平均数与纵坐标平均数。设其为(x0, y0)。
2. 对于第i个点(xi, yi)，求出与点(x0, y0)的距离，并将之加和。设为d(i)。
3. 求该加和距离d的最小值，即可求得解。

代码实现

下面给出Python代码实现：

import math

def solve(points):
    # 先求出横坐标平均数和纵坐标平均数
    x_sum = y_sum = count = 0
    for x, y in points:
        x_sum += x
        y_sum += y
        count += 1
    x_mean = x_sum / count
    y_mean = y_sum / count

    # 计算距离d(i)
    distance_sum = 0
    for x, y in points:
        distance_sum += math.sqrt((x - x_mean) ** 2 + (y - y_mean) ** 2)

    return distance_sum

# example
points = [(1,2), (3,4), (5,6), (7,8)]
print(solve(points))

总结

本题考察了对于问题的抽象能力以及对于数学模型建立与求解能力。这要求我们对于各种算法都要有一定的了解和掌握，才能更好的解决问题。