算法测验|须藤放置[1.8] |问题3

本文将介绍须藤放置模拟算法中的第三个问题。该算法主要用于解决将‘M’个红球和‘N’个蓝球放入相邻的‘2M’个槽中，相邻槽不得同时放入红球的问题。该问题可以转化为一个较为复杂的数学问题。因此需要用到组合数计算的相关知识，文章中也将给出相应的公式和代码实现。

问题描述

将‘M’个红球和‘N’个蓝球放入相邻的‘2M’个槽中，相邻槽不得同时放入红球。求所有可能的放置方案数。其中，‘1<=M<=10^18’，‘0<=N<2M’。

问题分析

本问题可以转化为将‘M’个‘A’放入相邻的‘2M’个‘’中，任意相邻两个‘’不能同时放入‘A’的问题。因为任意两个相邻的‘’之间的距离都为1，所以可以将这‘2M’个‘’看做一个长度为‘2M’的字符串‘S’，问题转化为将‘M’个‘A’放入字符串‘S’中，任意相邻两个字符不能同时为‘A’的问题。 可以定义一个‘f[i][0/1]’的数组，表示前‘i’个字符已经填好，最后一位为‘A’/‘’的方案个数。其中，‘0’表示最后一位为‘’，‘1’表示最后一位为‘A’。例如，当长度为2时，‘f[2][1]’表示已经填好两个字符后，最后一个字符为‘A’的方案数。 最终的方案数即为：f[2M][0]+f[2M][1]

算法实现

方案一：递推算法

根据题目要求，任意相邻两个字符不能同时为‘A’。因此，可以将‘A’和‘’看作两个状态。当填入‘A’时，需要排除与左侧或右侧的‘A’相邻的情况。当填入‘’时，由于可以与左侧或右侧的‘A’相邻，因此只需要排除与左侧和右侧同时为‘’的情况即可。 假设‘f[i][0/1]’表示前‘i’个字符已经填好，最后一位为‘A’/‘’的方案数，则有以下递推公式： 当填入‘A’时： f[i][1] = f[i-1][0] + f[i-2][0]; 当填入‘*’时： f[i][0] = f[i-1][0] + f[i-1][1]; 最终的方案数为：f[2M][0]+f[2M][1]

def solve(M):
    # 初始化f数组
    f = [[0]*2 for _ in range(2*M+1)]
    # 当前已放置0个‘A’和0个‘*’
    f[0][0] = 1
    # 当前已放置1个‘A’和0个‘*’
    f[1][1] = 1
    # 递推求解f数组
    for i in range(2, 2*M+1):
        f[i][1] = f[i-1][0] + f[i-2][0]
        f[i][0] = f[i-1][0] + f[i-1][1]
    # 返回方案数
    return f[2*M][0] + f[2*M][1]

方案二：组合数算法

由于本题可以转化为将‘M’个‘A’放入相邻的‘2M’个‘’中，任意相邻两个‘’不能同时放入‘A’的问题，因此可以考虑使用组合数算法求解。具体做法为：先将所有空位都放上‘A’，此时‘A’的个数为‘M’，剩余的‘’的个数为‘M’。然后将剩余的‘M-N’个‘A’依次放入每个空位中，使得任意相邻两个字符不能同时为‘A’。 设‘f[j]’为将前‘j’个‘A’分别放入前‘2j’个位置中，任意相邻两个位置不能同时为‘A’的方案数，则有以下递推公式： f[j] = (j+1) * f[j-1] + C(j+1, M) 其中，C(a,b)为组合数，表示从‘b’个数中选取‘a’个数的组合数。最终的方案数为：f[M]

def C(a, b):
    ret = 1
    for i in range(b-a+1, b+1):
        ret *= i
    for i in range(1, a+1):
        ret //= i
    return ret

def solve(M, N):
    # 将所有空位都放上‘A’，此时‘A’的个数为‘M’，剩余的‘*’的个数为‘M’
    ans = 1
    nA = M
    nS = M
    # 将剩余的‘M-N’个‘A’依次放入每个空位中
    for i in range(1, M-N+1):
        # 从前往后每个空位中放入一个‘A’
        ans *= i+1
        ans += C(i+1, nS) * f[i]
        nA += 1
        nS -= 1
    # 返回方案数
    return ans

总结

本文介绍了须藤放置模拟算法中的第三个问题，将‘M’个红球和‘N’个蓝球放入相邻的‘2M’个槽中，相邻槽不得同时放入红球的问题。通过本文的介绍可以了解到两种解决该问题的算法实现方法：递推算法和组合数算法。其中，递推算法实现简单，代码可读性好，但是运行速度慢；而组合数算法虽然实现复杂，但是可以快速求解大规模问题。