算法测验|须藤放置[1.8] |问题5

简介

本文介绍了来自《算法竞赛入门经典》一书的须藤放置问题。该问题是一道经典的组合数学问题，也可以通过动态规划的方法求解。

问题描述

有 $n$ 个位置和 $a$ 种放置方法，每种方法放置需要占据 $b_i$ 个位置。求将 $n$ 个位置全部占据的放置方案数。

解法思路

首先可以考虑使用回溯法生成所有的可能的放置方案，然后统计满足要求的方案数。但是，回溯法的时间复杂度为指数级别，在 $n$ 很大时不可行。因此，需要考虑其他的算法。

考虑使用动态规划。令 $f(i,j)$ 表示占据前 $i$ 个位置，占据方法为 $j$ 的方案数。则：

$$ f(i,j) = \sum_{k\in C(j)} f(i-b_j, k) $$

其中，$C(j)$ 表示占据方法 $j$ 可以由哪些占据方法转移而来。特别地，当 $i < b_j$ 时，$f(i,j)$ 为 $0$。

最终的答案即为 $f(n,1)+f(n,2)+\cdots+f(n,a)$。

代码片段

def solve(n,a,methods):
    f = [[0]*(a+1) for _ in range(n+1)]
    f[0][0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, a+1):
            b = methods[j-1]
            if i >= b:
                for k in C(j):
                    f[i][j] += f[i-b][k]
    ans = 0
    for j in range(1, a+1):
        ans += f[n][j]
    return ans

def C(j):
    res = []
    for i in range(1,j):
        if j & i == i:
            res.append(i)
    res.append(0)
    return res

以上代码片段是使用 Python 实现的动态规划算法。其中，solve 函数输入为 $n,a$ 和 $methods$，分别表示位置数目、占据方法数、每个占据方法需要占据的位置数。C 函数实现了 $C(j)$ 的计算方法。