算法测验|须藤放置[1.6] |问题1

概述

该算法是须藤放置游戏的第1.6关卡中的一个问题。该问题要求计算在一张网格上放置指定数量的黑点和白点，使它们的位置符合一定的条件，并且满足一定的限制。

问题描述

有一个大小为 $n \times n$ 的方格网格，其中恰好有 $b$ 个坐标为白点，$w$ 个坐标为黑点。其中，有些点被抠掉了，我们需要找出剩余的坐标，使得满足如下条件：

• 在所有包含恰好 $4$ 个网格的正方形中，黑点和白点的数量的差至少为 $k$，且至少有一个正方形的黑点和白点的数量的差超过了 $k$。
• 所有白点和黑点都在正方形的内部。

求最大的可能的 $b - w$。

解题思路

放置黑点和白点时，我们可以将其看作是在一个 $n \times n$ 的矩阵上的操作。我们可以从左上角开始填充正方形区域，将其扩展到整个矩阵。为了满足上述条件，我们需要考虑以下几点：

• 时间复杂度：根据题目要求，我们需要在算法中使用的时间要小于20秒。考虑到这一点，我们可以使用贪心算法，在确定一个点的时候，我们可以考虑把点放在可以满足 $k$ 的范围内，同时尽量使正方形的大小最小。对于合法的点，我们可以随机选择一个位置。如果没有合法的位置，则返回最大的 $b - w$。
• 防止过早收敛：由于随机选取位置可能会导致算法过早地收敛到最优解，我们需要加入一定的随机性，例如通过随机地重新组建初态等方法来打破局部最优解。
• 并行计算：使用多进程或线程等方式，可以进一步提高程序的性能。

实现代码

以下代码为 Python 3.6 代码片段，可以通过 markdown 格式进行显示：

def place_dots(n, b, w, k):
    """
    在一个 n x n 的网格上放置黑点和白点，满足指定条件。
    :param n: 网格的大小
    :param b: 白点的数量
    :param w: 黑点的数量
    :param k: 差值的最小值
    :return: 返回最大合法的 b - w 值。
    """
    # TODO: implementation