算法测验 | 须藤放置[1.7] | 问题4

介绍

这是一个算法测验题，题目要求我们计算矩阵的行列式值。在解决这个问题时，我们需要了解矩阵行列式的定义、性质及其计算方法。

矩阵行列式是一个标量，它衡量了矩阵所表示的线性变换对空间中单位体积的变化率。计算方法有多种，其中最常用的方法是高斯消元法。

解题思路

高斯消元法是一种线性方程组求解的算法，它可以将线性方程组化为三角形式，从而求出矩阵行列式值。其具体步骤如下：

1. 将矩阵的第一行乘以一个系数，使第一个元素成为主元素（即非零元素）。

2. 用第一行的主元素消去下面的所有元素，使它们成为零。

3. 将第二行乘以一个系数，使第二个元素成为主元素。

4. 用第二行的主元素消去下面的所有元素，使它们成为零。

5. 重复此过程，直到形成三角形式。

6. 计算对角线上所有元素的积，然后乘以一个符号因子，即可得到矩阵的行列式值。

代码实现

以下是高斯消元法的 Python 代码实现示例：

def determinant(matrix):
    """计算矩阵的行列式值"""
    n = len(matrix)
    sign = 1
    for i in range(n):
        if matrix[i][i] == 0:
            for j in range(i + 1, n):
                if matrix[j][i] != 0:
                    matrix[i], matrix[j] = matrix[j], matrix[i]
                    sign *= -1
                    break
            else:
                return 0
        for j in range(i + 1, n):
            factor = matrix[j][i] / matrix[i][i]
            for k in range(i, n):
                matrix[j][k] -= factor * matrix[i][k]
    res = sign
    for i in range(n):
        res *= matrix[i][i]
    return res

代码片段说明

上述代码实现了计算矩阵行列式值的功能，其核心部分是高斯消元算法，函数名为 determinant。

函数的参数是矩阵，它是一个二维数组。函数返回值是一个数值，即矩阵的行列式值。

函数内部首先获取矩阵的大小，并初始化符号因子 sign 为 1。然后对矩阵进行高斯消元，得到三角形式。

接着，计算对角线上元素的积，乘以符号因子，得到矩阵的行列式值。最后将其返回。

需要注意的是，代码中存在一个小技巧，即为避免除数为 0 的情况，将消元时的元素比率抽取出来，写成一个变量 factor，从而避免除数为 0。