算法测验 | 须藤放置[1.6] | 问题9

该题目为《须藤放置》第1章第6节问题9。

问题描述

在二维平面内，有一些点，找到一条直线，使得这些点到直线的距离之和最小。

解决方案

首先需要定义一下点到直线的距离。

假设直线的方程为 $ax+by+c=0$，点 $P(x_0,y_0)$，则点 $P$ 到直线的距离为

$$\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

现在假设有 $n$ 个点，给出这 $n$ 个点的坐标 $(x_i,y_i)$，需要找到一条直线 $ax+by+c=0$，使得这些点到直线的距离之和最小。

我们可以通过最小二乘法求解。具体来说，就是要最小化下面这个函数：

$$f(a,b,c)=\sum_{i=1}^n(\frac{|ax_i+by_i+c|}{\sqrt{a^2+b^2}})^2$$

使用梯度下降法，可以求解出 $a,b,c$ 的取值。

具体求解过程是，先对上面这个函数关于 $a,b,c$ 求偏导，然后根据梯度下降法的思想，不停地沿着负梯度的方向更新参数的取值。最后当梯度的逆范数的值小到一定程度时，就停止迭代，获得 $a,b,c$ 的最优取值。

代码实现

import numpy as np

def gradient_descent(X, y, alpha=0.001, max_iter=1000, tol=1e-3):
    m, n = X.shape
    theta = np.random.randn(n, 1)
    for i in range(max_iter):
        h = np.dot(X, theta)
        diff = h - y
        grad = np.dot(X.T, diff) / m
        theta -= alpha * grad
        if np.linalg.norm(grad) < tol:
            break
    return theta

def line_fitting(X, y):
    X = np.hstack((X, np.ones((X.shape[0], 1))))
    theta = gradient_descent(X, y)
    a, b, c = theta[0, 0], theta[1, 0], theta[2, 0]
    return a, b, c

其中 X 是一个 $n \times 2$ 的矩阵，每一行代表一个点的坐标，y 是一个 $n \times 1$ 的向量，代表每个点到直线的距离，alpha 是学习率，max_iter 是最大迭代次数，tol 是梯度的逆范数小于这个值时停止迭代。最后返回直线的参数 $a,b,c$。