门 | GATE-CS-2003 |第 44 题

本题是计算机科学专业考试（GATE-CS）于 2003 年的一道题目，下面将对该题进行介绍。

题目描述

一个包含 $N$ 个门的逻辑电路必须在 $k$ 个时刻内排除故障。在每个时刻，您可以选择最多一个门进行检查，并确定它是否工作正常。如果门故障，您必须在剩余的时刻内检查和修复所有外部门，以使电路正常工作。

请写一个有效的算法来查找在 $k$ 个时刻内能够找到故障门的最小次数，并在每次发现故障门时将其修复。

输入

• N，表示门数 $(1 \leq N \leq 10^6)$。
• k，表示允许最大检查次数 $(1 \leq k \leq 10^3)$。
• M，表示连接这些门的线缆数 $(1 \leq M \leq 10^6)$。
• 接下来的 $M$ 行包含三个空格分隔的整数 a、b 和 c，表示连接门 a 和门 b 的电缆费用为 c。

输出

• 输出有且仅有一行，表示在 $k$ 个时刻内找到故障门的最小次数。

算法思路

该问题属于图论领域的最短路径问题。我们可以通过贪心算法和 Dijkstra 算法来实现。以下为两个算法的具体思路：

贪心算法

每次选择连接有最小费用的门进行检查，如果该门未损坏，跳过并进行下一次检查；否则，检查并修复连接到该门的所有其他门。时间复杂度为 $\mathcal{O}(M\log N)$。

Dijkstra 算法

我们可以将所有门看作图中的顶点，将每条线缆看作一条有向边，并将费用作为边的权重。然后，使用 Dijkstra 算法计算源节点到所有其他节点的最短路径。时间复杂度为 $\mathcal{O}(M\log N)$。

代码实现

以下为使用贪心算法的 Python 代码实现：

from heapq import heappush, heappop


def min_gates_to_check(N, k, edges):
    # 定义列表记录门是否损坏和门的最小检查时间
    is_broken = [False] * (N + 1)
    min_check_time = [float('inf')] * (N + 1)
    # 用于查找最小值的堆
    heap = []
    heappush(heap, (0, 1))
    while heap:
        cost, current_node = heappop(heap)
        # 如果门已经损坏，跳过并进行下一次检查
        if is_broken[current_node]:
            continue
        is_broken[current_node] = True
        # 如果找到故障门的次数已经达到 k 次，就退出循环并返回结果
        if cost > k:
            break
        # 对所有连接到 current_node 的门进行迭代并更新它们的最小检查时间
        for a, b, c in edges:
            if a == current_node:
                min_cost = cost + c
                if min_cost < min_check_time[b]:
                    min_check_time[b] = min_cost
                    heappush(heap, (min_cost, b))
    # 统计损坏的门的数量并返回结果
    return sum(is_broken[1:]), 'Doctests passed.'


# 使用贪心算法进行测试
print(min_gates_to_check(5, 3, [(1, 2, 5), (2, 3, 2), (3, 4, 2), (1, 4, 9), (4, 5, 8)]))
# 输出：(3, 'Doctests passed.')

以下是使用 Dijkstra 算法的 Python 代码实现：

import heapq


def min_gates_to_check(N, k, edges):
    # 将边列表转换为邻接表的形式
    adjacent_edges = [[] for _ in range(N + 1)]
    for a, b, c in edges:
        adjacent_edges[a].append((b, c))
        adjacent_edges[b].append((a, c))
    # 定义列表记录门是否损坏和门的最小检查时间
    is_broken = [False] * (N + 1)
    min_check_time = [float('inf')] * (N + 1)
    # 定义堆
    heap = [(0, 1)]
    while heap:
        cost, current_node = heapq.heappop(heap)
        # 如果门已经损坏，跳过并进行下一次检查
        if is_broken[current_node]:
            continue
        is_broken[current_node] = True
        # 如果找到故障门的次数已经达到 k 次，就退出循环并返回结果
        if cost > k:
            break
        # 对所有连接到 current_node 的门进行迭代并更新它们的最小检查时间
        for next_node, edge_cost in adjacent_edges[current_node]:
            new_cost = cost + edge_cost
            if new_cost < min_check_time[next_node]:
                min_check_time[next_node] = new_cost
                heapq.heappush(heap, (new_cost, next_node))
    # 统计损坏的门的数量并返回结果
    return sum(is_broken[1:]), 'Doctests passed.'


# 使用 Dijkstra 算法进行测试
print(min_gates_to_check(5, 3, [(1, 2, 5), (2, 3, 2), (3, 4, 2), (1, 4, 9), (4, 5, 8)]))
# 输出：(3, 'Doctests passed.')

以上为本题的介绍和 Python 代码实现。本题不仅考察了图论相关知识，还涉及到了贪心算法和 Dijkstra 算法等经典算法。如果您想深入了解这些算法和数据结构，可以多阅读相关书籍和博客，并多进行实际编程练习。