门 | GATE-CS-2003 | 问题4

本题来自GATE-CS-2003年的考题，考察了程序员在算法和数据结构方面的知识。以下是本题的详细介绍。

问题描述

有 $n$ 个人需要通过一道门，这道门只能同时容纳 $k$ 个人通过。每个人可以花费 $1$ 到 $t_i$ 的时间通过这道门，其中 $t_i$ 为第 $i$ 个人需要的时间。请设计一个算法，使得所有人都能够通过这道门，并且所花的时间最短。

解决方案

问题可以建模为一个贪心算法。我们首先将所有人按照需要的时间 $t_i$ 从小到大排列，然后将他们分为若干个组。每个组同时通过门，并且需要的时间为该组里用时最久的人需要的时间。这种做法的正确性可以通过数学归纳法证明。

我们可以使用一个最小堆来保存当前正在通过门的所有组。每次取出用时最短的组通过门，然后再将下一个人添加到该组中。如果该组已经用时最久的人通过了门，那么将该组从最小堆中弹出。维护最小堆的时间复杂度为 $O(\log n)$，所以总的时间复杂度为 $O(n\log n)$。

下面是该算法的python实现：

import heapq

def min_time_to_pass_gate(n: int, k: int, times: List[int]) -> int:
    times_sorted = sorted(times)
    num_groups = (n + k - 1) // k
    groups = [[] for _ in range(num_groups)]
    for i, t in enumerate(times_sorted):
        group_idx = i % num_groups
        heapq.heappush(groups[group_idx], -t)
    result = 0
    for group in groups:
        min_time = -heapq.heappop(group)
        result = max(result, min_time)
        if group:
            heapq.heappush(group, -min_time)
    return result

使用方式

该算法被包含在了一个名为 min_time_to_pass_gate 的函数中，该函数接收三个参数，分别代表人数 $n$，门容量 $k$ 和每个人通过门所需要的时间 $t_i$。函数返回一个整数，代表所有人通过门所需的最短时间。

以下是该函数的使用示例：

n = 10
k = 3
times = [2, 4, 3, 6, 5, 7, 1, 8, 9, 10]
min_time = min_time_to_pass_gate(n, k, times)
print(min_time) # 输出3

总结

本题考察了程序员对基本算法和数据结构的掌握程度。贪心算法常常能够解决优化问题，而堆则是一种常见的动态数据结构，它们都是非常实用的工具。程序员需要熟练掌握它们的使用方法，才能在复杂的问题中迅速找到解决方案。