门(GATE-CS-2003) | 问题 5

这是一道经典的计算机科学问题，旨在检验程序员在算法和数据结构方面的知识和技能。下面是关于这个问题的介绍和解决方案。

问题描述

问题 5 题目如下：

给定一个排列数组 P，长度为 n，其中 P[i] 表示元素 i 在排列中的位置。例如，排序数组 [4, 0, 2, 1, 3] 的排列数组是 [1, 3, 2, 4, 0]。

现在，考虑从排列数组中选择两个不相交的子数组（非空）。我们可以通过选择 k 以特殊方式拆分两个子数组。拆分方式如下：

• 将排列数组分割为左子数组和右子数组，左子数组的长度为 k，右子数组的长度为 n - k。
• 将左子数组和右子数组分别重新组合为新的数组。

我们可以定义新的数组的差异度为左子数组的逆序数减去右子数组的逆序数。逆序数表示数组中逆序对的数量，即在数组中逆序的元素对数。我们的目标是找到特殊拆分方式 k，使得新数组的差异度最大。

请设计一个算法，接受排列数组 P 作为输入，并输出最大的差异度值。

解决方案

为了解决这个问题，我们可以遍历 k 的所有可能值，并分别计算每个 k 下左子数组和右子数组的逆序数。然后，通过计算这两个逆序数的差异度，找到最大的差异度值。

下面是算法的伪代码：

function calculateMaxDissimilarity(P)
    diff_max = -1
    n = length(P)

    for k = 1 to (n - 1) do
        left_array = P[0:k]
        right_array = P[k:n]

        reverse_inversions_left = 0
        reverse_inversions_right = 0

        for i = 0 to (k - 1) do
            for j = (i + 1) to k do
                if P[i] > P[j] then
                    reverse_inversions_left = reverse_inversions_left + 1

        for i = 0 to (n - k - 2) do
            for j = (i + 1) to (n - k - 1) do
                if P[k + i] > P[k + j] then
                    reverse_inversions_right = reverse_inversions_right + 1

        diff = reverse_inversions_left - reverse_inversions_right
        if diff > diff_max then
            diff_max = diff

    return diff_max

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是排列数组 P 的长度。对于给定的排列数组，该算法会计算所有可能的特殊拆分方式，并找到最大的差异度值。

请注意，上述伪代码只是解决问题的一种方法，还有其他一些优化技术可以用于提高算法的效率。因此，可以根据实际需求进行改进。

Markdown 代码片段：

## 解决方案

为了解决这个问题，我们可以遍历 `k` 的所有可能值，并分别计算每个 `k` 下左子数组和右子数组的逆序数。然后，通过计算这两个逆序数的差异度，找到最大的差异度值。

下面是算法的伪代码：

\`\`\`python
function calculateMaxDissimilarity(P)
    diff_max = -1
    n = length(P)

    for k = 1 to (n - 1) do
        left_array = P[0:k]
        right_array = P[k:n]

        reverse_inversions_left = 0
        reverse_inversions_right = 0

        for i = 0 to (k - 1) do
            for j = (i + 1) to k do
                if P[i] > P[j] then
                    reverse_inversions_left = reverse_inversions_left + 1

        for i = 0 to (n - k - 2) do
            for j = (i + 1) to (n - k - 1) do
                if P[k + i] > P[k + j] then
                    reverse_inversions_right = reverse_inversions_right + 1

        diff = reverse_inversions_left - reverse_inversions_right
        if diff > diff_max then
            diff_max = diff

    return diff_max
\`\`\`

该算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 `n` 是排列数组 `P` 的长度。对于给定的排列数组，该算法会计算所有可能的特殊拆分方式，并找到最大的差异度值。

请注意，上述伪代码只是解决问题的一种方法，还有其他一些优化技术可以用于提高算法的效率。因此，可以根据实际需求进行改进。

这样，程序员可以通过阅读上述介绍和解决方案来理解问题的背景、目标以及如何解决它。