乘法多项式

在代数学中，多项式是由若干项按照一定规则组成的代数式。乘法多项式是多项式中比较常见和基础的类型之一，它表示为多个用乘法连接的单项式组成。

什么是乘法多项式？

乘法多项式是由多个单项式以乘法连接，形如 $f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots +a_{1}x + a_{0}$。其中，$a_{n}$ 为多项式的系数，$n$ 为多项式次数，$x$ 为未知量。单项式是一个不含加号和减号的项，它只包含一个系数和任意个未知变量的积。

例如，下面是一个三次乘法多项式的例子：

$f(x) = 2x^3 + x^2 - 3x + 4$

在计算机科学中，乘法多项式经常用于解决多种问题，如多项式求值、多项式求导、多项式插值等。

如何实现乘法多项式？

程序员可以使用多种语言来实现乘法多项式，如 Python、C++、Java 等。下面是一个 Python 实现的例子，它可以计算两个多项式的乘积。

class Polynomial:
    def __init__(self, lis):
        self.n = len(lis)
        self.a = list(lis)

    def __mul__(self, other):
        lis = [0] * (self.n + other.n)
        for i in range(self.n):
            for j in range(other.n):
                lis[i + j] += self.a[i] * other.a[j]
        return Polynomial(lis)

    def __str__(self):
        return ' + '.join([f'{self.a[i]}x^{i}' for i in range(self.n) if self.a[i]])

a = Polynomial([1, 2, 3])  # a(x) = x^2 + 2x + 3
b = Polynomial([3, 2, 1])  # b(x) = x^2 + 2x + 3
c = a * b  # c(x) = a(x) * b(x)
print(c)

上述代码实现了一个 Polynomial 类，该类的构造函数接受一个列表，列表中的元素表示多项式的系数。例如，[1, 2, 3] 表示的是 $x^2 + 2x + 3$ 这个多项式。

__mul__ 方法用于实现两个多项式的乘积，它返回一个新的多项式对象。在该方法中，我们使用两层循环遍历两个多项式的所有单项式，并将它们的乘积加到最终的多项式中。最后，我们使用 __str__ 方法将多项式对象转换成字符串形式，以便输出到控制台。