乘法多项式

多项式是由变量和系数组成的代数表达式。变量有时也称为不确定。我们可以使用多项式执行任何运算，无论是乘法，除法，减法还是加法。在本文中，我们将学习如何将多项式相乘。

将单项式与单项式相乘

在数学中，单项式是代数中的一个表达式，它仅包含一个变量，它可以是数字，整数以及一个像2x，4mn等相乘的变量。现在，我们将学习如何将a乘以a单项式：

将两个单项式元素相乘：

我们知道：

3×m = m + m + m

同样，3×(10m)= 10m + 10m + 10m = 30 m

例子：

(i) m × 10n² = m × 10 × n × n = 10mn²

(ii) 20t × 3n = 20 × t × 3 × n = 60tn

(iii) 100q × (-8qzr) = 100 × q × (-8) × q × z × r= -800q²zr

从这些示例中我们可以看到，乘积系数等于第一和第二单项式的系数的乘积。

乘以三个或更多单项式：

要查找三个或更多单项式的乘积，我们可以先将任意两个单项式相乘，然后将该乘积与其余单项式相乘。我们可以扩展此方法以查找任意数量的单项式的乘积。

例子

问题1.评估100pq×4qr×8pr

解决方案：

Given: 100pq × 4qr × 8pr  

So, we shall first multiply 100 pq and 4qr = 400pq²r

Now multiply this product with 8pr  

Final product is 400pq²r × 8pr = 3200p²q²r²

We can obtain the same solution by first multiplying the coefficients 100 × 4 × 8 = 3200

The product of algebraic coefficients is pq × qr × pr = p²q²r²

So, the final product is 3200p²q²r²

问题2.找到5pqr×10 rst

解决方案：

Multiply the coefficients 5 × 10 =50

Multiply the algebraic coefficients = pqr × rst = pqr²st

So, Product = 50pqr²st

The result of multiplication doesn’t depend on the order in which multiplication is carried out.

将多项式乘以多项式

我们可以使用以下步骤将多项式乘以多项式：

步骤1：将单项式和多项式排列在一行中。

步骤2：现在使用分布式法律将它们分开。

步骤3：分离后，将第一项与第二项相乘

步骤4：简化结果(如果需要)。

例子

问题1.乘以20m×(10n + 3)。

解决方案：

Given: 20m x (10n + 3) 

Using the distributive laws,

= (20m × 10n) + (20m × 3)

= 200mn + 60m  

问题2.查找乘积19p×(2q + 3z + 5pq)

解决方案：

Given: 19p × (2q + 3z + 5pq)  

Using the distributive law,

= (19p × 2q) + (19p × 3z) + (19p × 5pq)

= 38pq + 57pz + 95p²q

乘法多项式

我们可以使用以下步骤将一个多项式与另一个多项式相乘：

步骤1：将多项式排列在一行中。

步骤2：现在使用分布式法律将它们分开。

步骤3：分离后，将第一项与第二项相乘

步骤4：简化结果(如果需要)。

使用这些步骤，您可以将多个多项式彼此相乘。当两个多项式相乘时，所得多项式的次数总是更高。

例子：

问题1.分别乘以(2x – 4y)和(3x – 5y)。

解决方案：

Given: (2x – 4y) × (3x – 5y)

Using the distributive laws,

[2x × (3x – 5y)] – [4y × (3x – 5y)]

[6x² – 10xy] – [12xy – 20y²]

6x² – 10xy – 12xy – 20y²

6x² – 20y² – 22xy 

问题2.分别乘以(2x + 4y)和(2x + y)。

解决方案：

Given: (2x + 4y) × (2x + y)

Using the distributive laws,

[2x × (2x + y)] + [4y × (2x + y)]

[4x² + 2xy] + [8xy + 4y²]

4x² + 2xy + 8xy + 4y²

4x² + 4y² + 10xy 

问题3.当m = 1时，求出3m(4m – 5)+ 4的值

解决方案

Given: 3m (4m – 5) + 4, m = 1

3m(4m – 5) = 12m² – 15m 

So, 3m (4m – 5) + 4 = 12m² – 15m + 4

Now put the value m = 1

= 12(1)² – 15 (1) + 4 

= 12 – 15 + 4

= 1

多项式乘法的类型：

有两种类型的多项式乘法可用：

1.将二项式乘以二项式

我们可以使用以下步骤将一个二项式与另一个二项式相乘：

步骤1：将二项式排列成一行。

步骤2：现在使用分布式法律将它们分开。

步骤3：分离后，将第一项与第二项相乘

第4步：合并类似的字词(如果有)。

例子：

问题1.乘以(t – 5)和(3m + 5)

解决方案：

Given: (t – 5) × (3m + 5)

Using distributed law

t(3m + 5) – 5(3m + 5)

3tm + 5t – 15m – 25

问题2.分别乘以(z + 4)和(z – 4)

解决方案：

Given: (z + 4) × (z – 4)

Using distributed law

= z(z – 4) + 4(z – 4)

= z² – 4z + 4z – 16

= z² – 16

问题3.乘以(m – n)和(3m + 5n)

解决方案：

Given: (m – n) × (3m + 5n)

Using distributed law

= m(3m + 5n) – n(3m + 5n)

= 3m² + 5mn – 3mn – 5n²

= 3m² + 2mn – 5n²

2.将二项式和三项式相乘

我们可以使用以下步骤将一个二项式与另一个三项式相乘：

步骤1：将二项式和三项式排列成一行。

步骤2：现在使用分布式法律将它们分开。

步骤3：分离后，将二项式的两个项分别乘以三项式的三个项。

第4步：合并类似的字词(如果有)。

例子

问题1.简化(m – n)(2m + 3n + r)

解决方案：

Given: (m – n)(2m + 3n + r) 

Using distributed law

= m(2m + 3n + r) – n(2m + 3n + r) 

= 2m² + 3mn + mr – 2mn – 3n² – nr

= 2m² + mn – 3n² + mr – nr

问题2.评估(p + q)(p + q + r)

解决方案：

Given: (p + q)(p + q + r)

Using distributed law

= p(p + q + r) + q(p + q + r)

= p² + pq + pr + pq + q² + qr

= p² + q² + 2pq + pr + qr

问题3.评估(4 + 5t)(5 + 3t + q)

解决方案

Given: (4 + 5t)(5 + 3t + q)

Using distributed law

= 4(5 + 3t + q) + 5t (5 + 3t + q)

= 20 + 12t + 4q + 25t + 15 t² + 5tq

= 15t² + 37t + 5tq + 4q + 20