带输出的有限自动机（第 6 组）

简介

带输出的有限自动机（Mealy Machine）是有限状态自动机的一种常见变体，它会在状态转移时产生输出。每个状态都有一个或多个输出与之相对应，这些输出可以用来描述输入序列所表示的语言。Mealy Machine 在实际应用中非常重要，例如通信协议中的错误检测、编码和解码，在嵌入式系统中的控制、驱动和调度等方面都有广泛应用。

原理

在输入串上执行 Mealy Machine 的过程中，它会读取输入字符并根据输入字符和当前状态进行状态转移，并输出与之相对应的输出串。一般地，Mealy Machine 可以表示为一个五元组 $(Q, \Sigma, \delta, \lambda, q_0)$，其中：

• $Q$ 是状态集合，包含所有可能的状态；
• $\Sigma$ 是输入符号集合；
• $\delta$ 是状态转移函数 $\delta: Q \times \Sigma \to Q$，用于描述输入字符和当前状态如何转移到另一个状态；
• $\lambda$ 是输出函数 $\lambda: Q \times \Sigma \to \Gamma$，用于描述当前状态和输入字符所对应的输出串；
• $q_0 \in Q$ 是初始状态。

在实际应用中，Mealy Machine 通常采用电路、程序或者数据结构的形式来描述和实现。

示例

以下是一个简单的带输出的有限自动机，它可以接受二进制输入并输出对应的十进制数：

Q = {q0, q1, q2}
Σ = {0, 1}
Γ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
δ(q0,0) = q0, δ(q0,1) = q1
δ(q1,0) = q2, δ(q1,1) = q1
δ(q2,0) = q2, δ(q2,1) = q2
λ(q0,0) = 0, λ(q0,1) = 0
λ(q1,0) = 0, λ(q1,1) = 1
λ(q2,0) = 2, λ(q2,1) = 3
q0 is initial state

该自动机的状态转移图如下所示：

当输入串为 $11001$ 时，状态转移和输出如下：

q0 --1--> q1, output = 0
q1 --1--> q1, output = 1
q1 --0--> q2, output = 3
q2 --0--> q2, output = 2
q2 --1--> q2, output = 3

因此，该输入串对应的输出为 $01123$，即二进制数 $11001$ 对应的十进制数。

代码实现

使用 Python 实现一个简单的 Mealy Machine，它可以接受在二进制串中查找字符 110 并输出所在位置。代码如下所示：

class MealyMachine:
    def __init__(self):
        self.states = ['q0', 'q1', 'q2', 'q3']
        self.symbols = ['0', '1']
        self.outputs = ['0', '1', '2', '3']
        self.delta = {'q0': {'0': 'q0', '1': 'q1'},
                      'q1': {'0': 'q0', '1': 'q2'},
                      'q2': {'0': 'q3', '1': 'q1'},
                      'q3': {'0': 'q0', '1': 'q1'}}
        self.lambda_ = {'q0': {'0': '0', '1': '0'},
                        'q1': {'0': '0', '1': '1'},
                        'q2': {'0': '2', '1': '3'},
                        'q3': {'0': '0', '1': '0'}}
        self.current_state = 'q0'
        self.outputs_so_far = ''

    def reset(self):
        self.current_state = 'q0'
        self.outputs_so_far = ''

    def process(self, s):
        for c in s:
            self.outputs_so_far += self.lambda_[self.current_state][c]
            self.current_state = self.delta[self.current_state][c]

        return self.outputs_so_far

该实现包括一个状态集合、输入符号集合、输出符号集合、状态转移函数和输出函数。在 process() 方法中，我们按顺序读取输入串中的字符，并根据状态转移和输出规则来更新当前状态和输出串。最终，我们返回输出串，它表示输入串所对应的输出。